如何用球面三角形的面积公式证明欧拉公式

假设将一个点光源放置在任何凸多面体中，并制作一个单位球作为该点光源的中心，凸多面体的顶点、边和面将在球上形成投影。 那么就足以证明在球面上形成的点、线和面满足欧拉公式。

然后将球面上的所有面都分成三角形，在分割一个面时，任何两个部分在这个面内部不会形成一个十字，这样分裂成三角形后，球面投影的面数和线数就会增加，因为每1条线将1个面分成2个面，所以加1条线也会增加1个面， 并且线条和面的数量是相同的。

假设原来的顶点、边和面数分别是 v、e 和 f，那么三角测量后，v 没有变化，e 和 f 的增加次数相同，因此 f-e+v 的值保持不变。 下面只是一个 f-e+v=2 的球面三角形。

当所有面都是三角形时，由于每个面有 3 条边，并且每条边对 2 个面都是共同的，所以 2e=3f，那么 f-e=-f 2，v-f 2=2 可以在下面证明。

每个顶点的圆周角 2 被几个球面三角形的角包围，所以所有三角形的内角之和为 2 v，球面三角形的面积为 a+b+c-，则所有三角形的面积为：所有三角形的内角之和 - f， 所有三角形的面积之和为球面面积4，即2 v- f=4，方程的两条边除以2得到：v-f 2=2，问题就得到了证明。

欧拉公式是通过拓扑方法证明的。

试试欧拉公式：对于任何多面体（即所有面都是平面多边形且没有孔的实心立方体），假设 f、e 和 v 分别表示面、边（或边）和角度（或顶部）的数量。

f-e+v=2。尝试使用拓扑方法证明多面体的面数、边数和顶点数的欧拉公式。

证明：1）多面体（图中）被看作是一个空心的立方体，橡皮擦表面很薄。

2）去掉多面体的一面，可以在平面上完全打开，在平面上得到一条直线，如图所示。假设 f、e 和 v 分别表示这个平面图的（简单）多边形、边和顶点的数量，我们只需要证明 f -e +v = 1。

3）对于这个平面图形，进行三角形分割，即对于还不是三角形的多边形，对角线一个接一个地引入，直到它们变成一些三角形，如图所示。每次引入对角线时，f 和 e 都会增加 1，而 v 不会改变，因此 f -e +v 不会改变。 因此，当完全拆分为三角形时，f-e +v 的值保持不变。

一些三角形在平面形状的边界上有一条或两条边。

4）如果一个三角形的边界上有一条边，例如图中的abc，则删除三角形中不属于另一个三角形的边，即ac，这样abc也被删除。所以 f 和 e 各自减去 1 并且 v 不会改变，所以 f -e +v 也不会改变。

5）如果一个三角形的边界上有两条边，例如图中的def，则删除该三角形中不属于其他三角形的边，即df和ef，以删除def。 所以 f 减 1，e 减 2，v 减 1，所以 f -e +v 保持不变。

6） 继续这样做，直到只剩下一个三角形，如图所示。此时 f = 1， e = 3， v = 3，所以 f -e +v = 1-3 + 3 = 1。

7）因为原来的图形是相连的，中间引入的各种变化并没有破坏这个事实，所以最终图形还是相连的，所以最后不会像图中那样是向外散落的几个三角形。

8） 如果它最终如图所示，我们可以删除其中一个三角形，即删除 1 个三角形、3 条边和 2 个顶点。所以 f-e+v 保持不变。

即 f -e +v = 1

欧拉公式：

f-e+v=2。

我明白了，我很感激。

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这可以通过进展来证明。

阿姆斯特朗，基本拓扑，当然不是很详细 可以考虑先得到n边的面积公式

你给了我一个优先权，我发誓我会告诉你怎么做。

最好的方法是问你的老师。

可以使用平面投影方法，加上高数中的二次曲面分割。

我受教育程度不如你，所以我帮不了你

什么是球面三角形面积公式？

这里面有吗？ 不，我正在寻找其他任何东西。

阿姆斯特朗，基本拓扑，当然不是很详细

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