验证 ln x 1 lnx 1 x（x 为正整数）。

那是。 ln(1+1/x)<1/x

设 1 x=t

那是。 ln(1+t)0

因此，该函数是一个递增函数。

f(t)>f(0)=0-ln1=0

即。 t>ln(1+t)

从而。 ln(x+1)-lnx< 1/x

ln（x+1）-lnx=ln（x+1） x=ln（1+1 x） 设 f（x）=ln（1+1 x）-1 x

然后 f'(x)=(-1/x²)*x/(x+1)+(1/x²)-1/x(x+1)+1/x²

x/x²(x+1)+(x+1)/x²(x+1)1/x²(x+1)

这大于 0 常量。

因此，此函数是常量，当取 x=1 时，取最小值。

LN 2>0（因为 2>1）。

所以 ln2-1 2>0

所以 ln（x+1）-lnx< 1 x（x 是正整数）。

没那么多麻烦：原始 ln（x 1 x） 在 1恒大是 1，在这个范围内，1 倍总是小于 1。 溶液。

你知道拉格朗日中值定理吗？ 如果会，它会一步到位。 如果没有，我会给你另一种方法。

设函数 y=（1+x）ln（1+x）-x

导数：y = （1+x）*（1 （1+x））+ln（1+x）-1=ln（1+x） 的导数。

显然，在 x>0 处，ln（1+x）>0 是常数，因此函数 y 是 x>0 处的递增函数。

现在考虑初始值 x=0， y=0

因此，在 x>0 时，y>0，即当 x>0 时，（1+x）ln（1+x）>x

假设 y=ln（1+x）-x

x>-1)

y 的导数。

y'=1/(x+1)-1

设导数等于 0

x=0x<0

y'>0

x=0y'=0

x>0y'<0

所以 x=0 是最大点，也是最大点。

f(0)=ln1=0

因此，对于任何 x>-1

y<=0

即 ln（1+x）<=x

应该有一个等号，除非 x=0 不在定义的域中。

f(x)=ln(1+x)-x

f'（x）=1 （1+x）-1=-x （1+x） 定义域 1+x>0

x>-1

即 f'（x） 分母大于 0

所以-10，乘以。

x>0,f'(x)<0.减去函数。

所以 x=0 有一个最大值，它也是一个最大值。

f(0)=0

所以 f（x）<=0

所以ln（1+x）<=x

在这里，您可以取等号，即当 x=0 时。

lnx>=1-1 x，（x=1时取等号）分别使x=2,3,2,4 xun 3,......,n （n-1） 产量： ln2>1-1 2=1 2， ln3 2>1-2 3=1 3， ln4 3>1-3 4=1 4,......ln n （n-1）>1-（n-1） n=1 n，以上类型加起来就是德林旅：ln2 + ln3 2 + ln4 3 + ......ln n mu wang 租金 （n-1） > 1 2 + 1 3 + 1 4 +...

当 x=0 时，两边均为 0

然后在两边找到导数，左边是 1 （1+x），左边是 1 （1+x） 2

当 x>0 时，两个导数都是 >1，所以 （1+x） 2 总是 1+x，也就是说，左边的导数总是右边的导数。

两边的起点是一样的，左边增加得快，所以左边一定是右边。

如果我没有学过导数，我就做不到。 ）

推导 f（x）=-1 x +1 x，使 f（x）>0 表明 f（x） 是 [1.

即 f（1）0 ln2>1 2 成立。

当 n=k 时，假设 lnk=f（k）-1 k+1>1 2+1 3+1 4+...1 k 成立。

当 n=k+1， ln（k+1）=f（k+1）-1 （k+1）+1>f（k）-1 （k（k+1））+1=f（k）-1 k+1+1 （k+1）=lnk+1 （k+1）>1 2+1 3+1 4+...1 K+1 （K+1） 完成。

知道函数 f（x）=（1-x） x+lnx 构造不好，函数构造为 g（x）=ln（x+1）-ln（x）-1 x

导数为 g'（x）=1 （x+1）-1 x+1 x2=1 （x+1）x2>0 在 [1，+无穷大] 上是常数，所以 g（x）>g（1）=ln2-ln1-1=ln2-1>0 设 x=1,2,3， n g（1）=ln2-ln1-1>0

g(2)=ln3-ln2-1/2>0

g(3)=ln4-ln3-1/3>0

.g（n）=ln（n+1）-lnn-1 n>0 得到 ln（n+1）-lnn+。ln4-ln3+ln3-ln2+ln2-ln1>1+1/2+1/3+..

1/n>1/2+1/3+..1/n+1/(n+1)

让 n+1=n 给出答案。