求序列 aN 1， 1 1 2 ， 1 1 2 3 ， 1 （1 2 3 N）。 前 N 项和

分项法求和：

1+2+..n＝n(n+1)/2

求和公式的常用项是 an=2 n（n+1）=2[（1 n）-1 （n+1）]。

1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+.1/（1+2+3+..n）2(1-1/2)+2(1/2-1/3)+2(1/3-1/4)+.2[(1/n)-1/(n+1)]

2[1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+..1/n)-1/(n+1)]

2[1-1/(n+1)]

2n/(n+1)

分母是差数级数求和的公式，一般项表示为：2 [n（n+1）]=2 n—2 （n+1） 将去掉相邻项。 答案应该是 2-2 （n+1），对吧？

an=an-1/2an-1+1

将上面的等式取到倒数中得到它。

1 an=（2an-1+1） an-1=1 an-1+2，所以 1 an

1/an-1=2

所以数字列是一个相等的差分序列。

1/a1=1

则 1 an = 1 + 2 （n-1） = 2n - 1

an=1/(2n-1)

举起 2 个。 括号内有 1 2 + 2 2 + 3 2 + ......n^2

利用三次方差公式。

n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]

n^2+(n-1)^2+n^2-n

2*n^2+(n-1)^2-n

n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

这些方程是完整相加的。

n^3-1^3=2*(2^2+3^2+..n^2)+[1^2+2^2+..n-1)^2]-(2+3+4+..n)

n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+..n^2)-2+[1^2+2^2+..n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+..n)

n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+..n^2)-2-n^2-(1+2+3+..n)+1

n^3-1=3(1^2+2^2+..n^2)-1-n^2-n(n+1)/2

3(1^2+2^2+..n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)

n/2)(n+1)(2n+1)

1^2+2^2+3^2+..n^2=n(n+1)(2n+1)/6

所以 sn=n（n+1）（2n+1） 3

1） 当 a=-7 时，an=1+1 [a+2（n-1）]=1+1 [-7+2（n-1）]=1+1 是减法函数。

当 n=1 时，an 取最大值：6 7。 当 n 接近无穷大时，an 的极限值为 1。 也就是说，最大值为 6 7，最小值为 1

2） 从 an=1+1 [a+2（n-1）]，a a6，我们得到：1+1 [a+2（n-1）] 1+1 [a+2（6-1）]，即 n>=6。

为什么您的步骤 an=1+1 2 n-2-a 2 满足 5<2-a 2<6？你是怎么来的，看起来很头晕。

是一个谐波序列，1（1 x（n+1）） 1 （1 xn）=dx（n+1）-xn=d，为固定值，即数列为等差级数，容差为dx1+x2+。x9=9x1+36d=9(x1+4d)=9a5=90

a5=10x3x7=(a5-2d)(a5+2d)=(10-2d)(10+2d)=100-4d²

平方项是常数且非负数，d 0 4d 0

100-4d²≤100

x3x7 的最大值为 100，其中 d = 0

解：（1） （an+1-2n+1）-（an-2n）=an+1-an-2n=1

因此，数字列是一个相等差数列，公差为 d=1

an-2n=（a1-2）+（n-1）d=n-1，an=2n+n-1；

2） 从 （1）， an=2n+n-1， bn=log2（an+1-n）=n

设 f（n）=（1+1b2）（1+1b3）（1+1b4）....（1+1bn）×1√n+1，（n≥2）

则 f（n+1）=（1+1b2）（1+1b3）（1+1b4）....（1+10亿） （1+10亿+1） 1 n+2，将两个方程除以得到 f（n+1）f（n）=（1+1bn+1） n+1 n+2= n+2 n+1 1，则有 f（n） f（n-1） f（n-2） ....f（2） = 32，使 （1+1b2）（1+1b3）（1+1b4）....（1+10亿） k n+1 对于所有 n n* 和 n 2 常数，必须有 k 32;

因此，k 的取值范围为 k 32

解决方案：以春天为例。 1,1 2a（n+1）=1 2an+1，则 1 a（n+1）=1 an

2,1 a1 = 1，所以该系列是第一个有 1 的系列，公共段的公差为 2;

2,1/an=1+2(n-1)=2n-1，an=1/(2n-1)ana(n+1)=1/(2n-1)*1/(2n+1)=1/2*[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

所以。 tn=a1a2+a2a3+..anan+11/2*[1-1/(2n+1)]

可以看出，当 n 趋于无穷大时，tn 可以接近最大值 1 2，当 n=1 时，tn 取最小值 1 3，可以看到 1 3。

o(∩_o~

证明：（1）当n=2且a2=2时，不等式成立

假设当 n=k（k2） 时不等式成立，即 AK2，则 AK+1=（1+1K2+K）AK+12K AK2

也就是说，当 n=k+1 时，不等式成立

根据 ，可以看出 2 对于 n 2 ....（4 分）。

2）后悔真明an+1an=1+1n2+n+12nan，bn=an+1-anan=an+1an-1=1n2+n+12nan

当 n=1， b1=a2-a1a1=1， 当 n 2， an 2， bn=1n2+n+12nan Bisu1n2+n+12n+1 时，所以 sn=b1+b2+....+bn≤1+(12•3+13•4+…+1n(n+1))+123+124+…+12n+1)

1+[12-13+13-14+…+1n-1n+1]+14[1-(12)n-1]＜1+12+14=74…（9 分）。

3）当n 2时，由（1）的结论可知：an+1=（1+1n2+n）an+12n （1+1n2+n+12n+1）an

ln（1+x）＜x，lnan+1≤ln(1+1n2+n+12n+1)+lnan＜lnan+1n2+n+12n+1，lnan+1-lnan≤1n2+n+12n+1（n≥2）

求和产值 lnan-lna2 12 3+13 4+....+1n(n-1)+123+124+…+12n=12-1n+122-12n＜34

A2=2，LN+12 34，An 2E34（n 2），A1=1 2E34

因此，对于任何正整数旅头 n，都有一个 2e34 ....（14 分）。

解：在序列中，a1=1，a2=14，an+1=（n-1）ann-an（n 2），a3=（2-1）a22-a2=142-14=17，可以找到相同的a4=110，所以我们可以猜测an=13n-2....（2 分）。

以下通过数学归纳法证明：很明显，当 n=1 时，结论为真。（3 分）。

假设当 n=k（k 1） 时结论为真，即 ak=13k-2，当 n=k+1 时，模仿者笑着叫 ak+1=（k-1）akk-ak=k-13k2-2k-1=13（k+1）-2....（5 分）。

即当n=k+1时，结论也为真，北海an=13n-2可得到的综合为真。（6 分）。

证明：bn=1 3n+1+ 3n-2=13（升猜3n+1- 3n-2）,...8分）。

b1+b2+…+bn=13[(√4-1)+(7-√4)+…3n+1- 3n-2）]=13（ 3n+1-1）=13（ 3n+1-1），证明 b1+b2+....+bn n3 为真，只需要证明 13（ 3n+1-1） n3，即 3n+1 3n+1 ,...（10 分）。

即3n+1 3n+2 3n+1，即2 3n 0，公式显然为真，所以结论得到了证明。（12 分）。