高中数学不平等竞赛问题， 高中数学竞赛不平等问题

求解以下不等式： 3·log （log x） +log 1 3 [log （9· x）] 1

解决方案：3·log （log x） +log 1 3 [log 9+log x] 1

3·log₃(log₃x) +log ‹1/3›[2+(1/3)log₃x]≥1

3log 1 3 [1 log x]+log 1 3 [2+（1 3）log x] 1 [这里第一个对数的底数和真数倒数]。

log‹1/3›≥1

因此，0<[1 log x] [2+（1 3）log x] 1 3

0<[2/(log₃x)³]1/[3(log₃x)²]1/3

0<(6+log₃x)/[3(log₃x)³≤1/3

log x） （6+log x） 1 [将两边的 3 相乘，从分母中除去 3，然后分子和分母颠倒，没有等号]。

log₃x)³/(6+log₃x)-1≥0

log₃x)³-log₃x-6]/(6+log₃x]=[(log₃x-2)(log²₃x+2log₃x+3)]/(6+log₃x)≥0

由于 log x+2log x+3=[（log x）+1] +2 2>0，因此有。

log₃x)-2]/(6+log₃x)≥0

所以 log x 2 或 6 + log x<0 是 log x<-6

因此，答案是 x 9 或 0 是错误的：（log x + 2） （log x - 3） （log x + 6） 0

分子为 （log x） -log x-6=[（log x-2）（（log x+2log x+3）≠（log x +2）（log x-3）]。

答案不应该是 x 27，让我们设置 log3（x）=y，所以有。

3·log3（log3x） +log 1/3 [log3（9·³√x）]

3log3（y）+log 1/3 [2+log3（x^（1/3)）]3log3（y）-log3（2+y/3）

log3[y^3/（2+y/3）]

1 所以得到。

y 3 （2+y 3） 3 然后有。

Y 3 - Y-6 0 发射。

y^3-2y^2)+(2y^2-y-6)

y^2(y-2)+(2y+3)(y-2)

y-2)(y^2+2y+3)

0 解决方案。 y 2 是 log3（x） 2

所以 x 3 2 = 9

排序不等式和柯西不等式证明了这个问题。

排序不等式：如果 a1>=a2>=....=an>=0; b1>=b2>=...=bn>=0;

然后是 a1b1+a2b2+。anbn>=(a1+a2+..an)(b1+b2+..bn)/n.

柯西不等式：ak>=0,1<=k<=n，则（a1+a2+..an)(1/a1+1/a2+..1/an)>=n^2.

数学归纳：

当 n=1 时，不妨根据排序不等式设置 a>=b>=c，然后设置 1 （b+c）>=1 （a+c）>=1 （a+b）。

a （b+c）+b （a+c）+c （a+b）>=（a+b+c）（1 （b+c）+1 （a+c）+1 （a+b）） 3=（（b+c）+（a+c）+（a+b））（1 （b+c）+1 （a+c）+1 （a+b）） 6， 和 （（b+c）+（a+c）+（a+b）） 6 根据柯西不等式（1 （b+c）+1 （a+c）+1 （a+b）） 6>=3 2;

设 n=k，a k （b+c）+b k （a+c）+c k （a+b）>=3 2 成立，则当 n=k+1 时，由于 a>=b>=c，则 a k （b+c）>=b k （a+c）>=c k （a+b），根据排名不等式。

A K+1 （B+C）+B K+1 （A+C）+C K+1 （A+B）>=（A+B+C）（A K （B+C）+B K （A+C）+C K （A+B）） 3>=3 2，所以证明完备了。

考虑到均值不等式，使用 abc = 1。

考虑柯西不等式，这是这种不等式的对称旋转的一般解。

我很久以前没有这样做，只是为了给你一些想法。

从x、y、z都是非负实数，2xy+2yz+2zx+2x+y 0

将上述等式与原始等式相加，x+y+z） +3（x+y+z）-14 3 0

求解 x+y+z（根数下的 22-3）2 或 x+y+z（根数下的 22-3）2

x， y， z 0，所以我们找到 （22-3） 2，等号在 x=y=0， z=（22-3） 2 处得到。

x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=13/4x^2+(y+1/2)^2+(z+1)^2+(x+y+z)-5/4=13/4

x^2+(y+1/2)^2+(z+1)^2+(x+y+z)=18/4=9/2

由于非负实数 x， y， z， x 2+（y+1 2） 2+（z+1） 2》5 4

所以 （x+y+z）min=13 4

证明： 1 （1+b+c）+1 （1+c+a）+1 （1+a+b） 1

将两边乘以 -1 并加 3 得到：

1-1/(1+b+c)]+1-1/(1+c+a)]+1-1/(1+a+b)]≤2.

不等式乘以 （b+c）（1+b+c）+（c+a）（1+c+a）+（a+b）（1+a+b）

2[（b+c）（1+b+c）+（c+a）（1+c+a）+（a+b）（1+a+b）]。

b+c)(1+b+c)+(c+a)(1+c+a)+(a+b)(1+a+b)]×b+c)/(1+b+c)+(c+a)/(1+c+a)+(a+b)/(1+a+b)]

（B+C）+（C+A）+（A+B）]这一步应用了柯西不等式）。

2[(b+c)(1+b+c)+(c+a)(1+c+a)+(a+b)(1+a+b)]≥4(a+b+c)²

a+b+c)+(a²+b²+c²)+ab+bc+ca)≥a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)

这个问题可以从结论开始。

首先 a+b+c ab+bc+ca，然后查看单个项目，如果 a+b+c ab+bc+ca，则 a ab、b、bc、c ca

而 a b c 是正数，所以 a 1 b 1 c 1 则 1 1 + a + b 1 3 当 a = b = c = 1 时取等号，所以 （1 1 + a + b） + （1 1 + b + c） + （1 1 + a + c） 1

证明如图所示，使用均值不等式（请注意，它是 n-1 个数的平均不等式）。

但柯西是一个提高思维和培养数学修养的过程，绝不能被那些超前于时代的人所取代。 其中，拉格朗日数乘法求条件极值可以说是解决一些不平等问题的灵丹妙药，但也有高中竞赛。

问题1：这不是一个难的问题，最简单的解决方案是建立一个系统分析，可以使用直线的斜率（切线）和向量来解决。

问题 2：让我们多谈谈：

步骤1：您可能希望设置a>b>c，a=b+m=c+m+n，m，n>0;

步骤2：将A 2 + B 2 + C 2 = 1变形为3C 2 + 2 （2m + N） C + （2M 2 + 2 Mn + N 2-1） = 0，即为关于C的一维二次方程，判别式为S=-4（M 2+2mn+2n 2-3）;

步骤4：假设a-b、b-c、c-a都大于第二部分的根数，即m、n大于第二部分的根数，使s>0，方程无解;

第 5 步：假设不成立，并且 a-b、b-c 和 c-a 中至少有一个不超过根数 2 的一半。 认证。

我正在省积分，看在努力工作的份上，帮忙设置一下，谢谢）。

答：设 = pab， = pbc， = pca 所以，从 P 到 AB 的距离 = Pasin = Pbsin（B- ） P 到 BC 的距离 = Pbsin = PCSIN （C- ） P 到 Ca 的距离 = PCSIN Pasin（A- ） 因此 sin sin = sin（a- ）sin（b- ）sin（c-）。

如果+90°，结论是显而易见的，如果+90°，则（a-）b- ）c- ）90°sinsin sin =sin（a- ）sin（b- ）sin（c- ）

由此我们可以看出，在 中有一个，比如满足。

因此，在后一种情况下，30° 减去 150° 必须是，两者都小于 30°

它只能使用均值不等式来求解，解如下图所示

<>回答的问题不容易做袜子冰雹，请谅解！ 好卖。

谢谢！

...想了一天都无济于事，我找到了答案。

让我们一起学习，这很巧妙。

由于 （b-c） 2+2（bc-1） 2>=0， （b 2+2）（c 2+2） 3[1+（b+c） 2 2] 很容易看出这两个方程是倍数。

柯西（a 2+2）[1+（b+c） 2 2]>=（a+b+c） 2So（a 2+2）（b 2+2）（c 2+2）>=3（a+b+c） 2>=9（ab+bc+ca）.

其实，如果从反面考虑，不难想到这种方法，所以我会想到其他方法。