不平等的高中数学竞赛问题

第一个问题。 首先，如果 a b c 为正，则确认 1 （a+1） 1 （b+1） 和 1 （b+1） 都小于 1 的三者之和小于 1。

3，所以前一部分不等式成立

不平等的后半部分得到了证明

1 （a+1）+1 （b+1）+1 （b+1） 3 倍根数。

因为。 a+1）(b+1)(c+1)≤[a+1)+(b+1)+(c+1)]^3/27=(a+b+c+3)^3/27≤(3+3)^3/27=8

然后 1 [（a+1）（b+1）（c+1）] 1 8

所以。 1 （a+1）+1 （b+1）+1 （b+1） 3 乘以 3 乘以根 3 乘以 3 乘以 （1 8） 3 2，当且仅当 a=b=c=1 为等号。

第二个问题。 a+1）/(a(a+2))=

因此，也可以用第一个问题来证明原公式 1 [（a+1）+1 （b+1）+1 （c+1） 3 2.

1/a+1/b+1/c≥3

1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)≥1

所以原来的不平等是成立的。

1）根据柯西不等式：

a+1)+(b+1)+(c+1)][1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)]>=(1+1+1)^2=9

也就是说，1 （a+1） +1 （b+1） +1 （c+1）>=9 （a+1+b+1+c+1）=9 （a+b+c+6）。

因为 a+b+c<=3， 9 （a+b+c+6）>=9 3+3=3 2

所以 1 （a+1） +1 （b+1） +1 （c+1）>=3 2

3-1/(a+1) +1/(b+1) +1/(c+1)=a/(a+1)+b/(b+1)+c/(c+1)

是的，因为 a、b 和 c 是正实数，所以 a （a+1） + b （b+1） + c （c+1） > 0

因此，3-1 （a+1） +1 （b+1） +1 （c+1）>0<=>3>1 （a+1） +1 （b+1） +1 （c+1）。

总和为：3>1 （a+1） +1 （b+1） +1 （c+1）>=3 2

2）因为a+1=1 2*（a+a+2），原公式可以简化为：

a+1)/a(a+2) +b+1)/b(b+2) +c+1)/c(c+2)=1/2[1/a+1/(a+2) +1/b+1/(b+2) +1/c+1/(c+2)]

1/2*[1/a +1/b+1/c+1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)]

同样，可以得到柯西不等式

1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)>=9/3=3

1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)>=9/(a+2+b+2+c+2)=9/(a+b+c+6)>=9/(3+6)=1

因此，原始公式 = 1 2 * [3 + 1] = 2 完成！

柯西不等式一般形式 （ ai 2;））bi^2;))ai·bi)^2;等号条件：a1：b1=a2：b2=....=an：bn 或 ai、bi 均为零。

根据柯西不等式：

a+1)+(b+1)+(c+1)][1/(a+1)+1/(b+1)+1/(c+1)]>=(√[a+1)*1/(a+1)]+b+1)*1/(b+1)]+c+1)*1/(c+1)])2=(1+1+1)^2=9

也就是说，1 （a+1） +1 （b+1） +1 （c+1）>=9 （a+1+b+1+c+1）=9 （a+b+c+3）。

因为 0 a+b+c 3 因此是 3 （a+b+c+3） 6

3≥9/(a+b+c+3)0≥3/2

所以 1 （a+1） +1 （b+1） +1 （c+1）>=3 2

2）因为a+1=1 2*（a+a+2），原公式可以简化为：

a+1)/a(a+2) +b+1)/b(b+2) +c+1)/c(c+2)=1/2[1/a+1/(a+2) +1/b+1/(b+2) +1/c+1/(c+2)]

1/2*[1/a +1/b+1/c+1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)]

同样，可以得到柯西不等式

a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥(1+1+1)^2=9

1/a+1/b+1/c=9/(a+b+c)

0＜a+b+c≤3

1/a+1/b+1/c=9/(a+b+c)≥3

同样地。 a+2+b+2+c+2)[1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)]≥1+1+1)^2=9

1/(a+2)+1/(b+2)+1/(c+2)>=9/(a+2+b+2+c+2)=9/(a+b+c+6)>=9/(3+6)=1

因此，原始公式 = 1 2 * [3 + 1] = 2

从x、y、z都是非负实数，2xy+2yz+2zx+2x+y 0

将上述等式与原始等式相加，x+y+z） +3（x+y+z）-14 3 0

求解 x+y+z（根数下的 22-3）2 或 x+y+z（根数下的 22-3）2

x， y， z 0，所以我们找到 （22-3） 2，等号在 x=y=0， z=（22-3） 2 处得到。

x^2+y^2+z^2+x+2y+3z=13/4x^2+(y+1/2)^2+(z+1)^2+(x+y+z)-5/4=13/4

x^2+(y+1/2)^2+(z+1)^2+(x+y+z)=18/4=9/2

由于非负实数 x， y， z， x 2+（y+1 2） 2+（z+1） 2》5 4

所以 （x+y+z）min=13 4

问题1：这不是一个难的问题，最简单的解决方案是建立一个系统分析，可以使用直线的斜率（切线）和向量来解决。

问题 2：让我们多谈谈：

步骤1：您可能希望设置a>b>c，a=b+m=c+m+n，m，n>0;

步骤2：将A 2 + B 2 + C 2 = 1变形为3C 2 + 2 （2m + N） C + （2M 2 + 2 Mn + N 2-1） = 0，即为关于C的一维二次方程，判别式为S=-4（M 2+2mn+2n 2-3）;

步骤4：假设a-b、b-c、c-a都大于第二部分的根数，即m、n大于第二部分的根数，使s>0，方程无解;

第 5 步：假设不成立，并且 a-b、b-c 和 c-a 中至少有一个不超过根数 2 的一半。 认证。

我正在省积分，看在努力工作的份上，帮忙设置一下，谢谢）。

答：设 = pab， = pbc， = pca 所以，从 P 到 AB 的距离 = Pasin = Pbsin（B- ） P 到 BC 的距离 = Pbsin = PCSIN （C- ） P 到 Ca 的距离 = PCSIN Pasin（A- ） 因此 sin sin = sin（a- ）sin（b- ）sin（c-）。

如果+90°，结论是显而易见的，如果+90°，则（a-）b- ）c- ）90°sinsin sin =sin（a- ）sin（b- ）sin（c- ）

由此我们可以看出，在 中有一个，比如满足。

因此，在后一种情况下，30° 减去 150° 必须是，两者都小于 30°

证明如图所示，使用均值不等式（请注意，它是 n-1 个数的平均不等式）。

但柯西是一个提高思维和培养数学修养的过程，绝不能被那些超前于时代的人所取代。 其中，拉格朗日数乘法求条件极值可以说是解决一些不平等问题的灵丹妙药，但也有高中竞赛。

<>回答的问题不容易做袜子冰雹，请谅解！ 好卖。

谢谢！

它只能使用均值不等式来求解，解如下图所示

按标题，|x^2-4x+p|+|x-3|5 的解是 x3 在一侧。

所以，x=3 一定是临界点，如果 x>3，左边就是“5”，所以，当 x=3 时，|x^2-4x+p|+|x-3|=5 得到 p=8 或 -2

将 p=8 和 p=-2 分别代入 |，x^2-4x+p|+|x-3|5，p=-2 必须丢弃，所以 p=8。

它应该大于或等于，当 x=y 时，它等于 0

左减右 （x 2 y 2） + （y 2 x 2） - （x y） + （y x）。

简化 （x 4+y 4-x 3y-xy 3） （x 2*y 2） x 2*y 2） 必须大于 0，所以我们只需要查看 x 4+y 4-x 3y-xy 3。

它也被简化为 3（x-y）-y 3（x-y）。

x-y)(x^3-y^3)

x-y)^2*(x^2-xy+y^2)

x-y)^2*[(x-y)^2+xy]

从上面可以看出，左边减去右边大于或等于 0，此时，你只需要添加几个单词，当 x=y 和 x≠y

所以答案是大于或等于。

设 x y=z 分为两个公式，比较 z 2 + 1 z 2 和 z + 1 z 的大小。

z^2+1/z^2-(z+1/z)

z^4+1-z^3-z)/z

z^3-1)(z-1)/z

z-1)^2(z^2+z+1)/z

这些项目中的每一个在这里都是积极的。

所以 z 2+1 z 2-（z+1 z）>0 是 z 2+1 z 2>（z+1 z）。

解： （x 2 y 2） + （y 2 x 2） = [x y） + （y x）] 2-2

设 t=x y+y x

那么 t 2-2-t = （t - 根数 2 2） 2-5 2 因为 x>0， y>0 都是 t>0

设 t 2-2-t=0，则 t=-1，t=2

由于 t>0，因此 t=2 符合主题。

当 t=2 时，则 x=y，则两个方程不能相等。

当 1>x， y>0 时，一个公式小于两个公式。

当 x，y>1 时，一个公式大于两个公式。

可以使用差分法。

x 2 y 2） + （y 2 x 2） - [x y） + （y x）] （第一次通过）。

x 4+y 4-x 3*y-x*y 3） （y 2*x 2） （合并相似项目）。

x(x^3-y^3)+y(y^3-x^3)/(y^2*x^2)

x-y)(x^3-y^3)/(y^2*x^2)

如果 x>y，则 x-y>0，x 3-y 3>0，即分子》0，所以 （x-y）（x 3-y 3） （y 2*x 2）>0，所以 （x 2 y 2） + （y 2 x 2） > [x y） + （y x）]。

如果 x0，则 （x 2 y 2） + （y 2 x 2） > [x y） + （y x）]。

综上所述，（x 2 y 2） + （y 2 x 2） > [x y） + （y x）]。