什么是函数的周期性和对称性，以及函数的周期性和对称性

你问对了人，图像不是直线，而是分段函数，你画的图是认真存在的，我个人有个结论：

奇数函数 + 对称性产生对称性 （1） 的 4 倍的周期。

偶数函数 + 对称性产生对称性 （2） 的 2 倍的周期。

反之亦然，这里就不赘述了，上面的结论我就给大家证明一下。

证明 （1） 函数相对于 x=a 是对称的，则有 f（2a+x）=f（0-x）。

代入奇函数属性，得到 f（x+2a）=f（-x）=-f（x）。

用 x+2a 代替 x 得到 f（x+4a）=-f（x+2a）=-（-f（x））=f（x），即 f（x+4a）=f（x） 是一个周期函数，周期为 4a

证明 （2） 函数相对于 x=a 是对称的，则有 f（2a+x）=f（0-x）。

代入偶数函数的性质，得到f（x+2a）=f（-x）=f（x），即f（x+2a）=f（x）为周期函数，周期为2a

现在解决你的问题：f（-25）=f（-1） f（80）=f（0） f（11）=f（3）=f（1） （因为函数相对于 x=2 是对称的）。

因为是奇数函数，定义字段包含0，所以f（0）=0（这是常识，如果假设不等于0，就会出现当x=0时y取两个值，这违背了函数不能是一比二的原则）。

奇数函数不会改变单调性 [-2,0]，这也是一个递增函数。

所以 f（-1） 是 f（-25）。

高三数学]功能对称性和周期性。

函数的周期性和对称性是指函数中的属性。 然后像这样的函数的属性主要在 中找到。 在高中的知识点，再说到函数的对称性相关方面，对称性是指函数的形象包含两部分的知识，即与坐标轴上的点对称，或与坐标轴上的轴对称。

然后有两个相关的函数，一个是点对称图像，另一个是轴对称图像。 那么第二个是周期性，它指的是某个定义中是常数的某种含义，然后如果能够出现这个常数这样的公式，那么这个公式的内容就可以称为周期函数，那么t就叫这个函数的周期。

函数的周期性和对称性的口头禅是对称差的周期。

如果 f（x+a）=-f（x+b），则还有一个减号。 （x+a）-（x+b）=a-b，周期x2。 周期性，t=2|a-b|。

如果 f（x+a）=-f（x+b），则还有一个减号。 （x+a）+（x+b）=a+b，轴变为中心。 对称性，对称中心（（a+b） 2,0）。

性质： 1.如果函数 f（x）（x d） 在定义的域中有两个对称轴 x=a 和 x=b，则函数 f（x） 是一个周期函数，周期 t=2|b-a|（不一定是最短的正周期）。

2. 如果函数 f（x）（x d） 在定义的域中有两个对称中心 a（a，0） 和 b（b，0），则函数 f（x） 是一个周期函数，周期 t=2|b-a|（不一定是最短的正周期）。

3.如果函数f（x）（x d）在定义的域中具有对称轴x=a和对称中心b（b，0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，周期t=4|b-a|（不一定是最短的正周期）。

函数的周期性和对称性的口头禅是对称差的周期。

如果 f（x+a）=-f（x+b），则还有一个减号。 （x+a）-（x+b）=a-b，周期x2。 周期性，t=2|a-b|。

如果 f（x+a）=-f（x+b），则还有一个减号。 （x+a）+（x+b）=a+b，轴变为中心。 对称性，对称中心（（a+b） 2,0）。

性质： 1.如果函数 f（x）（x d） 在定义的域中有两个对称轴 x=a 和 x=b，则函数 f（x） 是一个周期函数，周期 t=2|b-a|（不一定是最短的正周期）。

2. 如果函数 f（x）（x d） 在定义的域中有两个对称中心 a（a，0） 和 b（b，0），则函数 f（x） 是一个周期函数，周期 t=2|b-a|（不一定是最短的正周期）。

3.如果函数f（x）（x d）在定义的域中具有对称轴x=a和对称中心b（b，0）（a≠b），则函数f（x）是周期函数，周期t=4|b-a|（不一定是最短的正周期）。

功能对称性结论：y=f（|x|） 是一个偶数函数。

它相对于 y 轴是对称的。

y=|f（x）|它是将 x 轴下方的图像对称到 x 轴的顶部，但无法确定它是否对称。 例如，y=|lnx|没有对称性，y=|sinx|但是有对称性。

1、f（x＋a）＝－f（x）

那么 f（x 2a） f （x a） 是宽而纯的 a f（x a） f（x） f（x）。

所以 f（x） 是一个周期为 2a 的周期函数。

2. 差值 f（x a） 1 f（x）。

然后 f（x 2） f（x ） a） 1 f（x a） 1 （1 f（x）） 小心 f（x）。

所以 f（x） 是一个周期为 2a 的周期函数。

1：对称性：函数：f（a+x）=f（b-x）成立，f（x）相对于直线x=（a+b）2是对称的。

f（a+x）+f（b-x）=c，f（x）相对于点（（a+b）2，c 2）是对称的。

两个函数：y=f（a+x） 和 y=f（b-x） 相对于直线 x=（b-a） 2 是对称的。

证明：取函数上的一个点 （m，n） 来证明经过对称变换的点仍在函数上。

例如，中心对称公式证明点（m，n）取函数，对称点为（a+b-m，c-n）。

f（a+（b-m））+f（b-（b-m）=c 则 f（a+（b-m））+n=c，也就是说 f（a+（b-m））=c-n 也是一个函数。

2.周期性：f（x+a） = f（x） 周期 2a

f（x+a） = 或 1 f（x） 周期 2a

证明：设周期为 na，f（x+na）=。f(x)

3.周期性和对称性同时出现，找到周期（定义为r上的函数），然后可以通过绘图得到直观的答案。

对于 x=a，x=b 对称周期 2 （a-b）。

关于 （a，0） 和 x=b 的对称性 每周颠簸期 4 （a-b）。

如图所示，周期 4（a-b） 的 （a，0） 和 x=b 对称性：f（x） = f（2a-x）。

f(x)=f(2b-x)

f(2a-x) =f(2b-x)

f(2a+x) =f(2b+x)

f(x+4(a-b))=f(x+2a-2b)=f(x)

示例：y=f（x） 满足 f（x+1）=f（1-x） 和 f（x+3）=f（3-x），周期为 4

证明 f（x+1）=f（1-x）=f（3+（-2-x））=f（3-（-2-x））=f（x+5）.

1）如果一个功能的图像有两对手指，那么笑丛功能就是一个周期性功能。

2）如果函数的图像具有两个对称轴。

那么这个函数就是一个周期函数。

3）如果函数的图像具有对称点和对称轴，则该函数是周期函数。

1.对称性 f（x+a）=f（b x） 请记住，这个方程是对称的一般形式。 只要 x 有正数和负数。 有对称性。 至于对称轴，你可以通过吃公式找到 x=a+b 2

例如，f（x+3）=f（5 x） x=3+5 2=4 等。 这个公式对于那些不知道方程式但知道两个方程式之间关系的人来说很常见。 你可以应用它，但我不会在这里给你一个例子。

对于需要对称轴的已知方程，首先，您必须记住一些常见的对称轴对称方程。 例如，原始二次方程 f（x） = ax2 + bx + c 对称轴

原函数和反函数的对称轴为

而对于一些没有约束的函数，很难说它们的对称轴像三角函数一样，它的对称轴不仅是度数，而且是度数等等，因为他的定义是

他的对称轴还指出，通过简单函数平移后需要的一些对称轴可以反转为平移的次数，然后可以将平移的次数相加

例如，（ let then （ 可以看出，原来的方程从初等函数中向右移动了单位，对称轴也向右移动了单位，记住平移是左加右减法的一种形式，如本问题所述），至于周期性， 我们首先从一般形式（

请注意，方程充满了相同的符号，不像对称方程那样是正数和负数，这种区别也是确定对称性或周期性的关键

另外，请记住一些常见的周期函数，例如三角函数，什么是正弦函数、余弦函数、切函数等，当然，它们的最小周期当然是。

他们的周期不止于此，只要是其最小周期的正倍数，就可以是问题的周期，例如（

但如果是（，那么它的周期是因为将绝对值相加后，轴下方的图转向顶部，从图中不难看出最小对称周期

y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2

y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2

上面的等式

而对于周期函数方程的加减复合方程，如果它们的周期相同，那么它们的周期仍然相同，y=sin2x+cos x，因为它们有一个共同的周期，所以它的周期是

对于不相同的期间，则其周期是其各自周期的最小常见倍数，例如。

y=sin x+cos x

是不是f（x）有一个自变量，比如f（x-b）=f（x-a）自变量加起来除以2就是一个常数，那么看对称轴，如果相位减除2是一个常数，那就看周期，所以上面的例子看周期t=a-b 这是老师在复习我们的时候教的， 这是非常有效的