比率判别法用于确定序列的背离

比率判别法确定的序列的发散度为：后一项与前项相比的极限，收敛度小于1，大于1发散度。

lim(n→+∞5^(n+1)/(6^(n+1)-5^(n+1))]/[5^n/(6^n-5^n)]

lim（n + 5[1-（5 6） n] [6-5（5 6） n]=5 6 1，所以级数收敛。

2..lim(n→+∞u(n+1)/u(n)

lim(n→+∞n+1)^(n+1)/(n+1)!]/[(n)^(n)/n!]

lim（n + 1+1 n） n=e>1，据说是串联发散。

问题中的级数显然是一个正级数，一般项 u（n）=5 n （6 n-5 n），lim（n + u（n+1） u（n）=lim（n + 5（6 n-5 n） [6 （n+1）-5 （n+1）]=lim（n + 5[1-（5 6） n] [6-5（5 6） n]=5 6 1，根据正级数的 d'Alembert 判别法， 中间系列收敛。

这个问题的关键是不要默认收敛级数是正级数。

级数的一般项是 b[n] = （na （n+1）） n = a n （（n+1） n） n

则 b[n+1] b[n] = （a （n+1） （（n+2） （n+1）） n+1）） （a n （（n+1） n） n）。

a·((n+1)/n)^n/((n+2)/(n+1))^n+1).

当 n 时，（n+1） n） n = （1+1 n） n 收敛为 e，并且 （（n+2） （n+1）） n+1） 也收敛为 e

因此 b[n+1] b[n] 收敛为

根据比率判别法，当 0 < < 1 时，序列收敛，当 > 1 时，序列收敛。

当 a = 1 时，b[n] = 1 （1+1 n） n 收敛于 1 e > 0，并且级数一般项不趋向于 0，因此级数也发散。

总之，级数 （na （n+1）） n 在 0 < a < 1 处收敛，在 1 处发散。

注意：实际上，对于这个问题，使用比较判别方法更方便，因为很容易证明 b[n] 和 a n 是同一顺序的。

第一个小于 1 2，所以它收敛。

第二个也小于 1，只要 a 大于 1，级数就会收敛。 等于 1，则级数发散。 收敛。

第三个分歧。 根据收敛级数，一般项的极限为 0 的逆定理。 这个一般术语的极限不是 0，所以它发散了。

第四，当n大于某个n时，ln（n-1）小于n-1所以 1 ln（n-1）<1（n-1）所以这个问题有分歧。

递增和： 0 原始 1 2+1 1 2+1 2 3+1 3 4+1 4 5....limit），所以原来的收敛。