取一个绝对值后如何证明一个连续函数仍然是连续的，用定义来证明！

已知 f（x） 是连续的，即对于任何 x，当 x x0 时，存在 f（x） f（x0）

验证：对于任何 x，都有一个时间，当 x x0， |f(x)|→f(x0)|，即 |f(x)|连续。

证明：显然是 0 ||f(x)|-f(x0)||f(x)-f(x0)|

x x0， f（x） f（x0）。

f(x)-f(x0)→0

f(x)-f(x0)|→0

即：0 ||f(x)|-f(x0)||f(x)-f(x0)|→0

x x0， |f(x)|→f(x0)|，即 |f(x)|连续。

简介：连续函数。

将函数 y=f（x） 称为自变量。

x 的变化非常小，由因变量引起。

y 的变化也很小。 例如，温度随时间变化，只要时间变化很小，温度的变化也很小; 再比如，自由落体的位移随时间而变化，只要时间变化足够短，位移的变化也很小。

对于这种现象，因变量相对于自变量是连续变量，连续函数位于笛卡尔坐标系中。

中的图像是一条没有中断的连续曲线。 从极限的性质可以看出，一个函数在某一点上是连续充分和必要的。

而是它在那个点附近是连续的。

在函数的点 0 处，证明左右极限为 0，这证明函数的加绝对值仍然是连续的。 很明显，在点 0 处，如果 f（x） > 0，则正确的极限 = 0。 如果 f x） < 0，那么将绝对值相加后，就变成 -f（x，它仍然是一个初等函数，左极限仍为 0，并且有 f left = f right = 0

f|=（f 2） （1 2），连续函数复合连续;

此外，max（f1，f2）=（f1+f2）2+|f1-f2|2 和， min（f1，f2）=（f1+f2） 2 - f1-f2|2 也是一种连续功能化合物。

判断一个函数是否连续的方法：求某一点的左右极限，如果左极限等于右极限，等于这里函数的函数值，则该函数在该点上是连续的，如果在考察范围内，任何一点满足这个条件， 该功能是连续的。

函数 y=f（x） 当自变量 x 的变化很小时，因变量 y 的变化也很小。 例如，温度随时间变化，只要时间变化很小，温度的变化也很小; 再举一个例子，一个自由落体的位移随时间变化，只要时间变化足够短，位移的变化也很小，对于这种现象，我们说因变量相对于自变量是连续变化的。

对可用极限进行了严格描述：假设函数 y=f（x） 在 x0 点附近定义，如果存在 lim（x->x0） f（x）=f（x0），则称函数 f 在 x0 处是连续的。 如果在区间 i 上定义的函数在每个点 x i 上都是连续的，则称 f 在 i 上是连续的，它在笛卡尔坐标系中的图像是一条没有中断的连续曲线。

首先，取任意 a 属于定义的区间，然后计算 x 从 a 的左边接近 a 的极限和从 a 的右边接近 a 的极限时的极限，如果两个极限相等，则函数是连续的。 也就是说，左极限和左极限相等，并且由于该值是任意的，因此可以说它在整个定义的区间内是连续的。

你自己判断断点处的值是否相同，如果相同是连续的，那么只要你记住它，几乎可以判断出基本的连续函数。 您还可以利用图像。

首先，函数应该在该点上定义; 然后，函数在该点上有一个极限（即左极限等于右极限）; 最后，函数在该点的极限值也必须等于该点的函数值。 也就是说，如果这三个点同时满足，则可以说该函数在该点上是连续的。

定义 1 函数 f 定义在点 x0 的某个邻域中，如果函数 f 在点 x0 处有一个极限，并且该极限等于该点的函数值，即 limf（x）=f（x0），则称 f 在点 x0 处是连续的 x x0

f 在点 x0 处，必须连续满足三个条件：

1） 在点 x0 的邻域中有一个定义。

2） LIMM（x） 有 x x0

3）上述极限值等于函数f（x0）的值。

以下是证明函数是连续的方法：

1.使用函数的极限：如果函数x=a的极限仍然等于函数在x=a点处的值，即lim（x a）f（x）=f（a），则称函数在x=a点处连续，也可以说函数在开区间（x-δ内连续倾斜， x+δ）。

2. 使用函数的 -δ 定义：如果对于任何给定的 >0，则有一个 δ>0，使得对于所有满足 |x-a|<δ的 x，它们都有 |f(x)-f(a)|该函数在点 x=a 处被称为连续函数。

这意味着对于极端接近点 a 处的所有 x，f（x） 非常接近 f（a），无论它所在的区间如何。 无论使用哪种证明方法，我们都需要确保函数在点的左右两侧（在多元函数的情况下满足多个点）的上述条件，以证明函数在该点上是连续的。

1. 以下是一些使用函数极限来证明函数的连续性或不连续性的例子

1. 证明 f（x）=x+3 在 x=2 时是连续的。 证明：lim （x 2） （x+3） = 5，当 x = 2 时，f（2） = 5。 因此，在 x=2 时，函数 f（x）=x+3 是连续的。

2. 证明 f（x）=1 x 在 x=1 时是不连续的。 证明：lim （x 1） （1 x） = 和 当 x = 1 时，f（1） = 1。 由于无穷大不等于任何数，因此 1 x 在 x=1 时不是连续的。

2.下面是一个在-δ定义下证明尺子和证明之间关系的函数的苦恼差的例子

证明 f（x）=x2 在 x=1 时是连续的。

证明：我们需要证明，对于任何给定的 >0，都有一个 δ>0，使得所有人都满意 |x-1|<δ的 x，它们都有 |f(x)-f(1)|换句话说，我们需要找到一个δ来实现它x-1|<δ，有 |x^2-1|<ε

由于该函数是多项式，我们可以直接使用方程来求：|x^2-1|=|x-1)(x+1)|=x-1||x+1|我们可以将δ的值与确定δ 0 的条件相关联：dang|x-1|<1，然后 |f(x)-f(1)|=x^2-1|=|x+1)(x-1)|假设我们想要 |f(x)-f(1)|“那我们先控制一下|。”x-1|+2<1，所以 |x-1|<1 3，然后派生 |(x+1)(x-1)|<1/3+2)(1/3)=7/9。然后我们可以让 δ=min。

那么当|x-1|<δ，有： |f(x)-f(1)|

如果函数没有根，则绝对值函数是它本身，或者加一个减号，它必须是连续的;

因此，只需考虑当此函数通过 x 轴时会发生什么。

假设 f（x） 的一个根是 x0，并且 f（x） 在邻域中是连续的 （x0-a， x0+a），并且 f（x0-a）*f（x0+a）<0

只需要证明f(x)|在 （x0-a， x0+a） 连续。

回顾连续的定义：如果函数 f（x） 在 x0 处是连续的，即 limf（x） 在 xx0 处的极限为 f（x0）。

也就是说，任何 >0，都存在 （x0-b，x0+b） （x0-a，x0+a），使得区间为 |f(x)-f(x0)|，即 |f(x)|<

因此||f(x)|-f(x0)|=|f(x)|<

也就是说，任何 >0，都存在 （x0-b，x0+b） （x0-a，x0+a），使得区间为 |f(x)|-f(x0)|，即 |f(x)|连续在 x0 左右。

通过连续定义直接证明。

1. 证明分段函数是连续函数。

首先看每个分段函数的函数公式是否连续（这是初等函数是否连续的一般做法），然后看分段函数的分段点，左右极限是否相等且等于函数值。

线段点处的左限位由左侧的函数完成，线段点处的右限位由右侧的函数完成。

2.多元函数在某一点的连续性证明。

如果多元函数是连续的，那么一般的做法是这样的：通过捏合法，h（x） 倾向于探索 （0,0） 处的连续性，通常左边的 h（x） 为 0，右边的 g（x） 趋向于零。 g（x） 趋于零，它通常被基本不等式放大，最终得到极限。

设 f（x） 中的 f（x） = 0，此时函数是连续的，将函数 f（x） 加到绝对值后，大于 0 的部分不变，即等于 0 的部分也不变，即 f（x0）=0，小于 0 的部分变为 -f（x）， 那么，if（x）i 0，而当 x->x0 时，f（x）->0，所以函数的连续性在加绝对值后不会改变。

非常严格的连续型不变。

当 f（x） 连续存在于定义的域中时，lim x—>x0 f（x）=f（x0）。

lim x->x0 δy=lim |f（x）|-f(x0)|=|f（x0)|-f(x0)|=0

这是连续定义的三种形式中的第一种，δx->0 δy=0 所以 |f（x）|连续。

这是标准解决方案。

如果你要去读研究生，你不会选择这个。 选择是。

f（x） 有一个一阶导数，f（a）=0 f'（a） 不等于 0问|f（x）|它是否可在 a 点推导。

连续性的绝对值的加法仍然是连续的，因为||f(x)|-f(x0)|<=|f(x)-f(x0)|渺小。

不连续性的绝对值的加法可以是连续的，例如 f（x）=1（当 x 是有理数时）-1（当 x 是无理数时）。

不一定。 例如，如果添加 y=x，则是否添加绝对值对函数的连续性没有影响。

对于 y=x，当绝对值相加时，导数的连续性会发生变化。

绝对不严谨，只要证明|f(x)|，这在定义域中是可派生的，这似乎不是必需的。

没有具体的公式或定理，但我可以总结一些方法供大家参考。

如果多变量函数是连续的，则一般做法如下：通过捏合法，h（x） 和 g（x） 趋于零，然后使用基本不等式来缩放它以找到极限。

如果一个多元函数是不连续的，这是最幸福的，为什么这么说呢，一般可以先设置变量之间的关系，比如y = kx，y = kx 2等，最后发现极限与k有关，k取不同的值，极限取不同的值，所以极限不存在。

我不知道我是否已经说清楚了，但如果您有任何问题，请问。