求解四点轮廓奥林匹克竞赛问题，解决关于四点轮廓的3个数学问题

三角形是一个正三角形，圆中有四个点。

所以角度 cpb = 角度 cab = 60 度 = 角度 abc = 角度 apc 角度 pab = 角度 pcb

所以三角形 APD 类似于三角形 CPB

所以 pc pb = pa pd 1。

PC Pa = PB PD 2 公式。

取 PC 上的点 k，使得 pk=pb

然后由于角度 CPB = 60 度。

所以三角形 cpb 是一个正三角形，我们得到 bk=bp=pk，所以角度 pkb=60 度。

角度 CKB = 120 度 = 角度 APB

并且由于角度后 = 角度 bap

由于 AAS，三角形 CKB 与 APB 全等。

所以 ck=pa

所以pc=pk+kc=pb+pa

高于 1 + 2 获得：

pc pb+pc pa=（pa+pb） pd 因为 pa+pb=pc

所以 pc pb+pc pa=pc pd

两边按 pc 除以得到：

1 Pa + 1 PB = 1 PD。

在PC上取一个点E，使PE=PB，因为三角形ABC是正三角形，所以有AB=AC=BC，角度BPE=角度ABC=60度，那么三角形PEB就是正三角形，那么BE=PB，角度BPE=角度ABC=60度，角度ABe是公共角度， 所以角度 PAB=角度 EBC，加上 AB=BC，你可以启动三角形 APB=三角形 CEB，所以有 EC=PA，并且因为 PE=PB，所以。

pc=pe+ec=pb+pa

接下来，三角形 ADP 类似于三角形 PBC：

因为 AC=BC，角度 APC = 角度 BPC，并且因为角度 PAB = 角度 BPC，所以三角形 ADP 类似于三角形 PBC

所以有 pa pc=pd pb

简化：1 PD=PC（PAPb）=（PA+PB） （PAPB），即1 PA+1 PB=1 PD

因为，在圆内，三角形 ADP 类似于三角形 PBC，所以 PA*PB=PC*PD。 在 a 作为 aq 到 q 之后，所以 aq=ap=pq，所以角度 paq=60，所以角度 qac=角度 paq，并且因为 ab=ac，所以，三角形 apb 都等于 aqc，所以 cq pb，所以 pa+pb pc，1 pa+1 pb=pa+pb pa*pb pc pc*pd=1 pd

它可以通过同一弧的相等对角线和四边形角的相等外内对角线角度来确定。

入口点是 AC'c ab'b 是直角。

景友在网上有，搜索一下。 写下答案太长了......

有图片吗？ 如果你有照片，我会为你制作。

1.O1 在 A 点和 B 点与 O2 相交，射线 O1a 在 C 点与 O2 相交，射线 O2a

点 d 处的交点 o1。 验证：A 点是 BCD 的核心。

这四个点在一个圆圈中，因此 C、D、O1、B 和 O2 在一个圆圈中。 )

2.ABC 是一个不相等的三角形。 A 及其外平分线分别在 A1 和 A2 处与对侧的垂直线相交; 同时获得 b1、b2、c1、c2验证：a1a2=b1b2=c1c2

提示：尝试证明 ABA1 和 ACA1 是互补的，从而产生 A、B、A1 和 C 的四点圆; 然后证明 a、a2、b、c 都在一个圆内，使 a1 和 a2 都在 abc 的外接圆上，并注意 a1aa2=90°)

3.点m在正三角形的三条高线上的投影分别是m1、m2和m3（彼此不重合）。验证：m1m2m3也是一个正三角形。

4.在RT ABC中，Ad是斜边BC的高度，P是AB上的点，PC通过A点的垂直线与B在Q点形成的AB垂直线相交。 验证：pd丄qd

be，cf 是锐角 ABC 的三个高度。 EF 的垂直线 L1 来自 A，FD 的垂直线 L2 来自 B，De 的垂直线 L3 来自 C验证：

a、b、k、c 圆圈中的四个点）。

从 c 作为 cn bm，截断 cn=bm，连接 mn，则四边形 bcnm 是平行四边形，（一组边平行且相等的四边形为平行四边形），m、n、d、c 四点是圆体的，（同底同边顶角相等的两个三角形是圆周的）， mcn= mdn，（同弧的圆周角相等）， cn bm， mcn= bmc， （相等的内错角）， mn bc， mn=bc， bc ad， bc=ad， mn ad， mn=ad， mn ad， mn=ad， mn=ad， 四边形 adnm 也是平行四边形， dn am， mdn = amd， （内错角相等）， amd= mcn= bmc.

由于 CDF = ABC 与 CB 与 F 相交，因此连接 EF CDF 类似于 CBA，因此 CD

特殊 ca = cf cb = cf （cf+fb） 即有一个属 be ba = bc 2-cd ca =（cf+fb） 2 -cf （cf + fb）=fb （fb+cf） = bf bc

同样，ebf= cab，所以 bef 类似于 bca

综上所述，CDF与CBA相似，EBF也与EBF相似，因此CF DF=EF BF，EFD= EFD+ DFC= EFB+ DFC= DFe

因此，CFE类似于DFB

所以，adb= dcf+ dbf= bef+ cef= bec，所以 adb + aec = bec + aec = 180° 对角线互补四边形，四个顶点在同一个圆上，所以 a、d、o、e 四个点在一个圆中。