证明问题：证明根数 2 是一个无理数

假设根数 2 是有理数，那么根数 2 可以表示为分数，因为任何有理数都可以表示为分数，不妨设置根数 2 = a b，其中 a 和 b 是正整数，是最简单的，也就是说它们不能再被除法（即 a 和 b 只能是奇数，一是偶数），显然，b ≠ 1;

然后将两边分别平方，2=a 0 5 b 0 5 能被 b 0 5 整除，这在两种情况下考虑。

1.A是奇数，b是偶数，此时a0 5还是奇数，b 0 5还是偶数，此时a0 5显然不能被b0 5整除，也就是说，这种情况不符合题目;

2.A是偶数，b是奇数，此时a可以被2整除，那么a 0 5可以被4整除，那么a 0 5 2还是偶数，根据假设a 0 5 2 = b 0 5，那么b 0 5应该是奇数; 但是，在这种情况下，b 是奇数，b 0 5 也是奇数，即主题不满足。

综上所述，如果从假设中得出的结论存在矛盾，则证明该假设是错误的，而原始命题是正确的。

也就是说，根数 2 是正确的无理数。

使用反证明方法，哇：设 2 为有理数，将 2 表示为两个整数 a 和 b（a 和 b 是共基数）a b 的比值，则有 2 a b 对边的平方：

2=a 0 5 b 0 5 将 b 0 5 同时乘以两边，得到： 2b 0 5=a 0 5 即 a 0 5 是偶数，a 也是偶数，设 a = 2m，a 0 5 = 4m 0 5 原式为： 2b 0 5 = 4m 0 5 简化：

b 0 5 = 2m 0 5，即 b 0 5 是偶数，b 也是偶数，a 是偶数（已证明），这违反了 a 和 b 是互质数的假设 2 是偶数，假设不是立即 2 是无理数。

反证如下：

如果根数 2 是有理数，那么它必须用最简单（不可约）分数 m n 表示，即 m 和 n 的最大公约数是 1

然后：m 2 n 2 = 2

所以 m 2 = 2 * n 2，所以 m 2 是偶数。

偶数的平方必须是偶数，反之亦然，如果偶数是完全平方数，那么它的平方根也一定是偶数，所以 m 是偶数。

假设 m=2k，其中 k 是一个整数。 那么 2*n 2=（2k） 2=4*k 2 所以 n 2=2*k 2，同上。

所以 n 也是一个偶数。

既然 m 和 n 都是偶数，那么 m n 就不是最简单的分数，它们的最大公约数不是 1，至少 2 也是它们的公约数，很明显，2>1 与原来的 1 作为它们的最大公约数相矛盾。

因此，根数 2 是希望的无理数

证明：假设 2 是有理数。 那么 2 可以用 coprime 的两个数字 m， n 表示。

即 2=n m。

然后从 2=n m， 2=n 2 m 2 得到它，即 n 2 = 2*m 2，因为 n 2 = 2*m 2，那么 n 2 是偶数，那么 n 也是偶数。

然后我们可以使 n=2a，则 （2a） 2=2*m 2，简化为 2a 2=m 2，以同样的方式可以得到 m 为偶数。

这使得 m=2b。

那么从 m=2b， n=2a 中，我们可以得到 m 和 n 具有相同的质因数 2，即 m 和 n 不是两个互质数。

所以这个假设是无效的。

也就是说，2 是有理数并且不成立，那么 2 是有理数。

最简单的证明方法：

设 sqrt（2） = m n

m，n 是一个整数，简化为 （m，n）=1

则 2 = m 2 n 2

所以 m 是偶数，设 m = 2u

那么 2 = 4U2N2

所以 n2 = 2u2

所以 n 也是一个偶数，这与 （m，n）=1 相矛盾。

所以根数 2 是一个无理数。

首先要清楚，有理数和无理数是因为翻译问题才叫的，正确的应该叫比较数和不可比数。 有理数可以写成两个互质整数比率，而无理数不能。 以下采用反证法证明：

使用反驳法，假设 2 是有理数，然后推导出一个矛盾来证明它不是一个有理数。

证明：设 2=p q，q≠0，，p 和 q 是互质。 然后将 2=p q 的边平方得到 2=p 2 q 2，这样 p 2=2q 2，如果 q = 2m，m n+，则 p 2=8m 2，p 也是一个偶数，这与 p p 和 q 互质相矛盾，假设 2 不是有理数，2 是无理数。

如果根数 2 是有理数，那么它必须用最简单（不可约）的分数 m n 表示。

然后：m 2 n 2 = 2

所以 m 2 = 2 * n 2

所以 m 是偶数。

假设 m=2k，则 2*n2=4*k2

所以 n 2 = 2 * k 2

所以 n 也是一个偶数。

由于 m 和 n 都是偶数，因此 m n 不是最简单的分数，并且与原始假设相矛盾。

因此，根数 2 是一个无理数。

如果 2 是有理数，则必须有 2=p q（p 和 q 是余质的正整数）的平方：2=p q

p^=2q^

显然，p 是偶数，让 p=2k（k 是正整数）。

是：4k = 2q 和 q = 2k

显然，q 业力是一个偶数，它与 p p 和 q 相互矛盾。

假设这不是真的，2 是一个无理数。

用反证证明这一点。

假设 2 是有理数，即 2 = p q，其中 p 和 q 是没有除数的正整数（除了 1 之外没有正整数的公因数），所以 p = 2q，或 p2 = 2q2，因为 p2 是整数的 2 倍，那么我们知道 p2 是偶数，所以 p 一定是偶数。 设 p=2r，使前面的方程变为 4r2=2q2，或 q2=2r2，我们知道 q2 是偶数，所以 q 一定是偶数。 由于 p 和 q 都是偶数，因此它们有一个公约数 2，这与最初的假设相矛盾，即 p，q 是没有公约数的正整数。

因此，假设 2 是有理数会导致不可能的情况，因此这个假设一定是不正确的。

<>希望对您有所帮助！

问题。 那么如何证明 3 呢？

类比推理！

2 已被证明，3 已被证明为 2！

假设根数 2 是有理数，则有两个互质正整数 p，q，使得：

根数 2 = p q

所以 p=（根数 2）q

两边都是方形的。

p 2=2q 2 （“是几个正方形的意思）。

从 2q 2 开始是偶数，p 2 是偶数。 只有偶数的平方是偶数，所以p也是偶数。

因此，可以设置 p=2s 并将其代入上述等式中，得到：

4s 2 = 2q 2，即 q 2 = 2s 2

所以 q 也是一个偶数。 这样，p 和 q 都是偶数而不是粘质的，这与 p 和 q 是相互的假设相矛盾。

这种矛盾表明，根数 2 不能写成分数，即根数 2 不是有理数。

证明：假设 2 不是无理数，而是有理数。

由于 2 是有理数，因此必须以两个整数的比率的形式写成：

2=p q 并且由于 p 和 q 没有要约的公因数，因此可以认为 p q 是约分，即最简单的分数形式。

把。 √2=p/q

两边都是正方形。 获取。

2=(p^2)/(q^2)

即。 2(q^2)=p^2

由于 2q 2 是偶数，p

必须是偶数，让 p=2m

由。 2(q^2)=4(m^2)

获取。 q^2=2m^2

同理，q 也必须是偶数，让 q=2n

由于 p 和 q 都是偶数，因此它们必须具有 2 的公因数，这与之前的假设相矛盾，即 p q 是约小数。 这种矛盾是由 2 是有理数的假设引起的。 因此 2 是一个无理数。

用反证来证明。

假设根数 2 不是无理数，那么根数 2 可以写成分数 a b（a 和 b 是互质数和整数），即：根数 2 = a b

两边的平方得到：2=a 2 b 2，即：a 2=2b 2 显然a是偶数，设a=2k，代入上面的公式，得到：4k 2=2b 2，即：b 2=2k 2

显然，b 也是一个偶数。

因此，a 和 b 的公约数为 2，作为质数相互矛盾。

因此，假设不成立，因此根数 2 是一个无理数。

假设根数 2 是有理数。

有理数可以写成最简单的分数。

以及两个互质整数的除法形式。

也就是说，根数 2 = p q

PQ共质。 两边都是正方形。

2=p^2/q^2

p^2=2q^2

所以 p 2 是偶数。

则 p 是偶数。

设 p=2m，则 4m2=2q2

q^2=2m^2

同样，q 是偶数。

这与PQ是相互矛盾的。

所以这个假设是错误的。

所以根数 2 是一个无理数。

如果 2 是有理数，则必须有 2=p q（p 和 q 是余质的正整数）的平方：2=p q

p^=2q^

显然，p 是偶数，让 p=2k（k 是正整数）。

是：4k = 2q 和 q = 2k

显然，q 业力是一个偶数，它与 p p 和 q 相互矛盾。

假设这不是真的，2 是一个无理数。

它要么是无理数，要么是有理数。

如果根数 2 是有理数，那么它可以表示为分数，但在 x 2=2 中，x 不能表示为分数，所以 x（即根数 2）只能是无理数。

假设根数 2 是一个有理数。

设根数 2=n m （m，n 属于 z，m，n 互质数）和根数 2*m=n

n 平方 = 2 * m 平方。

n 是 2 的倍数。

设 n=2k，则 4k=2m。

m 平方 = 2*k 平方（m 平方为偶数）。

所以 m 是偶数。

所以 2 是 m，n 的公约数。

与 m，n 的矛盾。

所以根数 2 不是有理数。

证明（朱云妍说--）。

证明：如果根数 2 是有理数，则满足有理数的性质：任何有理数都可以用 p q 的形式表示，其中 p，q 是正整数，p，q 是互素数，即最大公约数是 1，则根据最大公因数的性质， 有正整数 m，n

使 mp+nq=1

因为 p q = 根数 2

是一个有理数。 所以 p=（根数 2）*q 也是一个有理数（根据有理数的域性质）......2）替代（1）。

m*（根数 2）*q+nq=1

因为 m>=1，根数 2>1，q>=1，n>=1，所以 m*（根数 2）*q+nq>1，与 （3） 相矛盾。

因此，根数 2 是一个无理数！

如果 2 是有理数，则必须有 2=p q（p 和 q 是余质的正整数）的平方：2=p q

p^=2q^

显然，p 是偶数，让 p=2k（k 是正整数）。

是：4k = 2q 和 q = 2k

显然，q 业力是一个偶数，它与 p p 和 q 相互矛盾。

假设这不是真的，2 是一个无理数。