ACM数论梅森素数检测问题

老师曾经提到过一个与梅森素数有关的决策定理，不知道对这个问题有没有用。

但是我现在忘记了如何证明它，它似乎更复杂，如果你有兴趣，你可以自己证明（很难，对吧？ 该定理的结构如下：

当 p 为奇素数时：

m（p） 是梅森素数 <=> m（p）|s(p-1).其中：s（1）=4，s（n+1）=s（n）2-2

如果你考虑完整的数字，这里也有一个等效的结论：

设 n=2 （p-1）*m（p）p>3 是一个素数：那么：n 是一个完整的数<=> m（p） 是一个梅森素数。

证明非常简单，可以直接从完整数的定义中推导出来。 参与 ACM。 你会证明的，我不会在这门课上得到斧头。

刚刚在 wiki 上看到了梅森素数的判断属性：

当且仅当 Mn 能被 sn-2 整除时，Mn 是素数 （s0 = 4， s（k） = s（k 1） 2， k > 0）。

使用此方法将降低从 o（n） 到 o（logn） 引用的复杂性。

（1） 形状为 2 n-1 的质数。

很容易知道 n 必须在哪里是素数。

m（p）=2 p-1，称为梅森数（也称为梅森、梅什内）数，其中素数称为梅森素数，参见。

我摘录了以下重要元素，并进行了一些更改和注释：

经过多年的研究，中国数学家和语言学家周海中于1992年首次给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们找到这个素数提供了便利。 后来，这项科研成果被国际数学界命名为“周的猜测”。

梅森素数是无限多的吗？ 这是一个众所周知的数学难题，尚未解决。 有无数的猜想（我自己也是这么认为的）。

有一个非常简洁的猜想（加泰罗尼亚猜想，未经证实）：

m(1)=m(2)=3,m(2)=m(m(1))=7,m(3)=m(m(2))=127,..通过此递归获得的数字序列都是素数。 这样的数量迅速增加。

这种类型的质数有很多意义：

是发现已知最大素数的最有效方法; 测试计算机计算速度和其他功能的强大手段;

它需要素数判别和数值计算的理论和方法，以及精湛而巧妙的编程技术等，因此也促进了数论、计算数学和编程技术的发展。

测试梅森数是否为质数的最有效方法来自 lucas 和 lehmer：

1930 年，美国数学家 Reimer 改进了 Lucas 的工作，并给出了一种测试 MP 素数的新方法，即 Lucas-Reimer 方法：MP 3 是素数为 LP-2=0 的充分和必要条件，其中 l0=4 和 ln+1=（ln 2）modmp。 这种方法在当今的“计算机时代”继续发挥着重要作用。

此外，它还推动了分布式计算技术的发展。

2） 2 n+1 形状的素数。

很容易知道 n 的形状必须像 2 m 一样。

f（m）=2 （2 m）+1，称为费马数。

看它的质因数的形状是 k*2 （m+2）+1。 有很多像罗宾逊这样的数学家得到了一些结果。

但总的来说，对这些数的研究可能不如对默森数的研究那么深入。

可能是由于这些数字的快速增长，很难确定f（m）的素数，并分析其素数，因为m值不太大。 目前只知道m=0,1,2,3,4,5是素数; 第一个合数是。

f5=2^(2^6)+1=4294967297=6700417*641=(52347*2^7+1)*(5*2^7+1)

通常假设只有有限数量的素数，甚至是前 5 个。

我的想法是认为它们的数量是无限的。

第二个问题是，如果它是一个素数，那么一定有 m，所以 n = 2 m，但这是一个费马数，至于他是否有无限素数，数学界仍然没有定论。

俞洪兵教授说：“在数论部分，不要随便深化命题，因为这很可能是一个著名的问题。 嗯，我的意思是，数论的这一部分很容易猜到，但不容易解决。

例如，众所周知的素数问题：是否存在无限多个形式的 n 2+1（未解），或者问题：是否存在无限多个形式的 an+b 的素数（已解决，但被证明是困难的）......像这样看似简单的问题，其实很难......然后还有很多未解决的问题==

数论是最具挑战性的分支，建议你阅读数论中未解决的问题，也许可以解决它们。

素数是只能被 1 整除的数字，其本身是大于 1 的整数（例如，等）。 素数是无限多的，但只有极少数的素数可以用2p 1的形式表示（p是素数），这称为梅森素数。 它以 17 世纪法国数学家马林·梅森 （Marin Mason） 的名字命名。

梅森素数是数论研究的重要组成部分，自欧几里得时代以来，人们一直在探索梅森素数。 由于这个素数的许多独特性质（即它与完美数密切相关）及其无限的魅力，几千年来吸引了许多数学家和无数数学爱好者。 在现代，梅森素数不仅在密码学、编程、分布式计算技术、计算机测试等领域具有广泛的应用价值，而且是人类好奇心、求知欲和荣誉感的最佳见证。

梅森素数源自 Mercenne 数。 所谓默逊数是指一类形状为 2p 1 的数字，其中指数 p 是素数，通常表示为 mp。 如果默森数是素数，则称为默森素数。

很容易证明，如果 MP 是素数，那么它的指数 p 一定是素数，反之亦然。 例如，当 p=2,3,5,7 时，mp 是素数，但 m11=2047=23 89 不是素数。 实际上使 MP 素数成为素数的指数 p 值很少，这表明梅森素数在正整数中的分布异常稀疏。

梅森素数是否无限多是数论中未解之谜之一。 截至 2013 年 2 月，共发现了 48 个梅森素数，最大的是 257885161-1（即 2 的57885161幂减去 1），有 17,425,170 位数字。

梅森数是形状为 2 p 1 的正整数，其中指数 p 是素数，通常表示为 mp。 如果 MP 是素数，则称为梅森素数。 p 2、3、5、7、MP 都是素数，但 M11 2047 23 89 不是素数。

mersenne number

它就像一个 2 p 1 的正整数，其中 p 是素数。

数字，通常表示为 MP。 如果 MP 是素数，则称为梅森素数。 在版本 P 2、3、5、7、MP 中，都是加权素数，但 M11 2047 23 89 不是素数。

已发现的最大梅森素数是 p 43,112,609 的情况，其中 MP 为 12,978,189 位。 梅森素数是否无限多是数论中未解之谜之一。

梅森素数源自 Mercenne 数。

所谓默逊数是指一类形状为 2p 1 的数字，其中指数 p 是素数，通常表示为 mp。 如果默森数是素数，则称为默森素数。

可以通过因式分解来证明，如果 2n 1 是素数，那么指数 n 也是素数; 相反，当 n 是素数时，2n 1（即 mp）不一定是素数。 前几个较小的梅森数大多是素数，但梅森数越大，梅森素数就越难出现。

梅森素数是否无限多是数论中众所周知的未解之谜之一。 目前只发现了 49 个梅森素数，最大的是 1 274207281（即 2 的 74207281 次方减 1），有 22338618 位数。

梅森素数自古以来就是数论研究的重要组成部分，历史上许多伟大的数学家都专门研究这种特殊形式的素数。 从古希腊主义者的时代到17世纪，人们似乎都在寻找梅森素数的含义，结果却找到了完美的数字。 但是，自从梅森做出了著名的断言，特别是自从欧拉证明了欧几里得关于全数定理的逆定理以来，全数只是默森素数的“副产品”。

对梅森素数的寻找具有丰富的当代意义。 寻找梅森素数是发现已知最大素数的最有效方法。 自从欧拉证明m31是当时最大的素数以来，在发现已知最大素数的世界竞赛中，梅森素数几乎赢得了所有冠军。

找到梅尔森素数是测试计算机计算速度和其他功能的有力手段，例如美国克莱公司于 1996 年 9 月在测试其最新超级计算机的计算速度时获得的 M1257787。 梅森素数在推动计算机功能改进方面发挥着独特的作用。 人们发现，梅森素数不仅需要高性能的计算机，还需要质数判别和数值计算的理论和方法，以及精湛而巧妙的编程技术等，因此也推动了数学女王数论的发展，促进了计算数学和编程技术的发展。

发现梅森素数的最新意义在于，它导致了分布式计算技术的发展。 网络的力量可以从互联网项目中发现的最新 15 个 Mersen 素数这一事实中想象出来。

分布式计算技术使得使用大量个人计算机来完成项目成为可能，否则这些项目将用超级计算机完成，这是一个非常有前途的领域。 它还推动了快速傅里叶变换的应用。

梅森素数在现实世界中也占有一席之地，大型素数现在被用于现代密码设计领域。 其原理是，将大数分解为几个素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘相对容易。

在这种密码设计中，需要使用较大的素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。

由于梅森素数的研究能力需要多种学科和技术的支持，也由于新的“大素数”的发现所引起的国际影响，梅森素数的研究能力在某种意义上标志着一个国家的科技水平，而不仅仅是数学的研究水平。 英国著名科学家、牛津大学教授马科斯·索托伊（Marcos Sotoy）甚至认为，其研究进展不仅是人类智能发展的数学标志，也是整个科学发展的里程碑之一。