哪些序列猜想需要通过数学归纳法来证明

这说明你一眼就能看出答案，这是一项技能。

不过考试是有过程的，这个技能是属于你的，不是别人的，比如你是顶尖人才，可以直接看出哪个分支会上升，哪个分支会下降，但是如果你不说为什么，恐怕就没有说服力了。

比如你的问题，猜到之后，代入检验，验证假设是否正确，这是一个极其错误的数学问题，记住：一组答案通过不验证，就意味着答案是唯一的！ 例如，x + y = 2

我们都知道，这是一个由无限多个群求解的方程。 但是我猜x=y=1，验证成功，我得到了答案，你认为这是对的吗？ 所以你的证明方法完全是错误的！

你的这种思维本身是经不起推敲的，学习数学不是为了你能做多少题，而是为了为自己建立一套仔细的思维。 你的这种想法是学习过程中的巨大绊脚石，你现在所做的就是假设某某是正确的，然后拼命捍卫它的正确性，即使有不完美之处你也视而不见。 正如我所说，你有能力一目了然地看到答案，这只是一种技能，你在填空题方面有优势。

但如果你缺乏证明的思维和证明的能力，那么你就会成为一个无能为力的斗。最可怕的是你的这个想法：如果你赞美它，你就善于机会主义，如果你说得不好，你就是懒惰和懒惰。

我们来谈谈你的问题，最简单的数列问题，当然，你可以一下子看到答案，而且你的答案是正确的。 但要证明并不是那么容易，答案不是看得见，而是计算出来。 你的解决方案是告诉每个人，所有的答案都是要看到的，然后用证据代替。

如果你看不到它怎么办？ 那你就不知所措了，你永远无法解决它！ 这就是你的方法带来的答案，想想看？

你的这种做法有什么值得推广的？

好的，明白了！

数学归纳法使它得到证明，一种证明数学猜想的严格方法，这是毫无疑问的。 当 n=1 时成立; 假设 n=k 为 true，则 n=k+1 为 true。 这两个结论确保了当 n 属于 n 时 n 为真，这是严格的。

你的例子问题太简单了，你可以直接从比例级数的定义中得到答案（第一项和公比是已知的），这并不意味着你的证明方法是错误的。 我的初衷是，任何证明方法本身都需要严谨证明，数学归纳法也要严谨证明; 而你的证明方法：

猜想引入条件，当条件满足时，得到猜想正确的结论。 未经证实，（即使它很紧，我说甚至）它不被其他人认可。 事实上，你的证明方法（猜想带来所有条件都为真）只能得到“必要”的答案，而不是“充分”的答案，如果你仔细想想，说A满足B并说A=B显然是不够的。

数学归纳是完全必要的，或者说“不大不小，不缩”，用你的方法可以猜出多组答案，把所有猜想的答案都总结起来就足够了，也是必要的。

有两种证明，一种是归纳的，另一种是演绎的。

并非每个证明都必须是归纳的。

数学归纳有一个前提，先猜关系，然后证明。

第二步的证明是基于第一步的猜想，即你必须想出一个关系，否则你就不需要数学归纳了。

你的猜测现在是一个猜想，这是一个猜想，它并不严谨。 数学步骤之前和之后都是充分条件，你的猜想不能写成充分和必要的条件。 没有逻辑可言。

然后是你的第二个问题，为什么你不能引入 n=k，你必须有 k+1。 因为 k 不是变量，n 是变量，当你把 k 带进来时，你正在代入一个数字，只有这个数字是真的。 你的想法是将 n 代入它，仅此而已，但这实际上是一个逻辑错误，当你将 n 代入一个常数，然后你将其转换为一个变量并认为它对所有 n 都是正确的。

这个概念被偷了。

数学归纳最简单最常见的方法是证明当n属于所有自然数时，形成一个表达式，该方法包括以下两个步骤：

递归基础：

证明表达式在 n1 时成立。

递归基础：

证明如果当 n

当它成立时，m ，然后当 n

M1 也是正确的。 （递归基中的“if”被定义为归纳假设。

不要把整个第二步称为归纳假设。 )

这种方法的原理是，第一步是在表达式中证明起始值为真，然后证明从一个值到下一个值的证明过程是有效的。 如果两个步骤都得到证明，那么任何值的证明都可以包含在重复该过程的过程中。 也许更容易理解多米诺骨牌效应; 如果你有一长排多米诺骨牌直立，那么如果你能确定：

关于数学归纳法，有两个关键点需要牢记。

1。证明当n为某个值时，结论为真。

2。如果 n=k 为真，则当证明 n=k+1 时结论为真。

示例：验证：5 个连续自然数的乘积能量可被 120 整除。

答案： 1.当n=1,1*2*3*4*5=120，能被120整除时，原命题为真。

2. 假设当 n=k 时原始命题为真，则当 n=k+1 时。

k+1）（k+2）（k+3）（k+4）（k+5）

k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）

5（k+1）（k+2）（k+3）（k+4）

因为 k（k+1）（k+2）（k+3）（k+4） 是 120 的倍数。

只需要 5 （k+1） （k+2） （k+3） （k+4） 是 120 的倍数。

也就是说，证明 （k+1） （k+2） （k+3） （k+4） 是 24 的倍数。

必须有一个 4 的倍数、一个 3 的倍数和另一个偶数，所以它必须能被 4*2*3=24 整除。

也就是说，当 n=k+1 时，原始命题为真。

所以，综合，原始命题对于任何自然数都是正确的。

另一个例子：已知：a1=1 2,1+an=3an 3+an（n为正整数），则an=

an=3/(n+5)

解：a1 = 1 2 = 3 6

a2=3/7,a3=3/8,a4=3/9,a5=3/10...

猜想：an=3 （n+5）。

证明：当 n = 1 时，a1 = 1 2 = 3 6

假设当 n=k 时，即 ak=3 （k+5） 为真。

那么当 n=k+1 时，有 ak+1=3ak （3+ak）。

9/(k+5)]/[3+3/(k+5)]

9/3(k+5+1)

3/[(k+1)+5]

也就是说，当 n=k+1 时，假设为真。

所以 an=3 （n+5）。

n 是正整数）。

最简单和最常见的数学归纳法是证明当 n 等于任何自然数时命题为真。 证明分为两步：

证明当 n = 1 时命题成立。

假设当 n=m 时命题为真，则可以推导出当 n=m+1 时该命题也为真。 （m 代表任何自然数）。

这种方法的原理是首先证明命题在某个起始值下为真，然后证明从一个值到下一个值的过程是有效的。 当这两点都得到证明后，就可以反复使用此方法推导出任何值。

数学归纳法对问题求解的形式有严格的要求，求解问题过程中的第一步就是取第一个自然数时验证n是否为真。

第二步：假设n=k为真，然后根据验证条件和假设条件进行推导，在后续推导过程中，n=k+1不能直接代入假设的原始公式中。

最后一步是总结演示文稿。

需要强调的是，数学归纳的两个步骤都很重要，也是必不可少的，否则可能会得到以下荒谬的证明：

证据1：所有的马都是一种颜色。

首先，在第一步中，当 n=1 时，这个命题为真，即当只有 1 匹马时，马只有一种颜色。

第二步是假设 n 的命题为真，即假设任何 n 匹马都是一种颜色。 因此，当我们有 n+1 匹马时，我们不妨给它们编号：

1, 2, 3……n, n+1

......其中n） 正如我们从假设中得出的那样，这些马都是相同的颜色;

......n， n+1） 这些马，我们也可以得到它们是一种颜色;

既然有、...在两组中n） 这些马，所以你可以得到，这些 n+1 马都是同一种颜色。

这个证明的错误来自推理的第二步：当 n = 1 且 n + 1 = 2 时，则只对马进行编号，那么两组是 （1） 和 （2） - 它们不相交，所以第二步的推论是错误的。 数学归纳的第二步要求nn+1过程......n = 1， 2， 3上面的证明就像一张多米诺骨牌，在第一张和第二张多米诺骨牌之间有太多的空间，它推翻了第一张多米诺骨牌，但并没有推倒第二张多米诺骨牌。

尽管我们知道第二块会击倒第三块，依此类推，但这个过程早已在第一块和第二块之间中断了。

证明：n 个元素的子集为 2 的 n 次方。

1）当n=1时，2的幂=2，有2个子集 （2）当n=k（k 2）时，k的幂为2，有2的k个子集，则当n=k+1时，2*n=2*（k+1）=2*k 2时，有2的k个子集。因此成立。

对于与自然数相关的命题 p（n），1） p（n） 在 n=n0 时成立;

2）当n0 n<=k时，P（n）为真，在此基础上引入p（k+1）。

综合 （1） （2），对于所有自然数 n（ n0），命题 p（n） 成立。

1/2+2/2^2+3/2^3+..n/2^n=2 - n+2)/2^n.

1.当n=1时，left=1 2;

右 = 2-3 2 = 1 2

左 = 右，true。

2. 当 n=k 时，有：

1/2+2/2^2+3/2^3+..k 2 k=2 - k+2） 2 k，则当 n=k+1 时：有：

1/2+2/2^2+3/2^3+..k/2^k+(k+1)/2^(k+1)

2 - k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-[2(k+2)-(k+1)]/2^(k+1)=2-(k+3)/2^(k+1)

2-[（K+1）+2] 2 （K+1）。

n=1 保持 n=2 保持。

如果 n=k，则为真。

当 n=k+1 时，设置 k=a1+a2+。as，a1、a2、..该序列中的数字也是如此。

如果 1 不属于这个 s 数，则 k+1=1+a1+a2+。同样，如果 1 属于这些 s 数，则将 1 替换为 2 得到表达式 k+1，并且该命题通过数学归纳法为真。

对不起 更新 n=k+1 时，考虑序列中小于 k+1 的最大数字，并将其设置为 b，则数字 k+1-b 可以用序列中的一些数字表示，并且这些数字不能包含 b

因为如果 b 在这个符号中，它表示 k+1-b>b，所以 2bok 本质上是整个 10 个数字的二进制表示，个位数与前几个数字组合在一起。

这分两步完成：对于小于 10 的正整数，您可以合并前 5 项中的 2 项！

对于大于 10 的，从第一步的结果中获得个位数，其余的通过将比例序列中的不同项相加得到！

【问题1】 同理可以得到一个猜想 [问题2] （ 当 ，在右边，方程成立 （假设 ，当 ，方程成立，即 ，则 ，即 ，当 ，即 ，当 ，方程也成立 根据（ ），可以看出，对于一切，它都是真的 分析： 从已知条件中，可以直接得到公式， 表达式可以通过观察和归纳来猜测，然后通过数学归纳来证明。

3 < （3x1 X1） （3x2X1） ......3xn 1） （x1x2......xn）<4

所以，它是不可分割的。

条件不完全，可以做负数，1也是奇数。 -5， -7 可以用作反例。