这里有两个线性代数问题，我想问刘老师

首先，既然没有说a是不是满秩，那么后面就应该证明r（a）+r（a-e）<= n。

这两个问题的证明思路是完全一样的，我会证明一个，另一个会放进去。

由于 a 2 = a，a 2-a = 0，即 a （a - e） = 0

在这种情况下，矩阵 a-e 的列向量是方程 ax=0 解的一部分，即 a-e 中不相关的列向量数小于或等于 ax=0 的解数。

方程组 ax=0 中不相关的解向量数为 n-r（a）。 （这是一个定理，不要问为什么，书中有详细的证明，说起来很长很麻烦，如果你想理解，可以自己看。 它可以直接使用，没有任何条件和证明）。

所以有 r（a-e）< = n-r（a）。

即 r（a）+r（a-e） <= n

在第二个问题中，2=e 变为 （a+e）（a-e）=0。 下面的证明是完全一样的，所以我就不写了。

1） 因为 a（a-e） = 0

所以 r（a）+r（a-e） <=n

因为 n = r（e） = r（ a - a-e） ） = r（a）+r（a-e）。

所以 r（a）+r（a-e） <=n

2）相似。

该线性代数问题的分析和证明如下：

二次型 x ax 是一个特殊的二次多项式，因为不仅二次项的系数为 0，而且只有一个常数项 0，x ax=n（1-n）+n -n=0

详细的计算过程。

对于所有非零向量 x，有 f（x）=0，它同时满足 f（x） 0 和 f（x） 0

原始的二次形式既是半正的，也是半负的。

|问题 2.

1） 因为 e69da5e887aa62616964757a686964616f313333396639360 = 0 = 1 * 0

那么，根据特征值的定义，知道 1 是 a 的特征值 a+3i，是不可逆的，那么 |a+3i|=0

然后 |-3i-a|=(-1)³|3i+a|=0，因此 -3 也是 a 的特征值。

并且由于任何矩阵的特征值和行列式 |a|相等，并且 |a|=3，则三个特征值的乘积等于 3

那么未知特征值为 3 1 （-3） = -1 总之，a 的三个特征值是 1、-3 和 -1

2） 特征多项式是 |λi-a|

即 |i-a|、|3i-a|、|i-a|（3） A +i 是矩阵 a 的多项式，f（x） = x +1，所以特征值为 f（ ），即

f(1)=1⁻¹+1=2

f(-3)=(-3)⁻¹1=2/3

f(-1)=(-1)⁻¹1=0

4)a²+i

是矩阵 a 的多项式 g（x）=x +1

因此，特征值为 g（ ），即

g(1)=1²+1=2

g(-3)=(-3)²+1=10

g(-1)=(-1)²+1=2

行列式 |a²+i|

g(1)g(-3)g(-1)

40 问题 3.

1）矩阵是相似的，具有相等的行列式。

b|=|a|=4

2）求第一个的特征值。

i-a|= 按第 1 行获取。

0 个解给出 =2， =-1， =-2

得到3个特征值。

相似性矩阵具有相同的特征值，因此 b 的 3 个特征值是 2、-1、-2 矩阵 2b 是 b 的多项式 f（x）=2x

因此特征值为 f（2）=4， f（-1）=-2， f（-2）=-4，矩阵 2b +i 是 b 的多项式 g（x）=2x +1，因此特征值为 g（2）=2， g（-1）=-1， g（-2）=0（3）， 矩阵 b 2 - 2i

是多项式 h（x）=x b 的 2-2

因此，特征值为 h（2）=0， h（-1）=-3 2， h（-2）=0|b²/2 - 2i|=h(2)h(-1)h(-2)=0

问题 1 是上三角形行列式，主要对角线元素直接相乘得到结果： 18 问题 2 3c=

a+3c=

问题 1 行列式 d2，第 2 列加第 1 列，然后第 3 列加第 2 列，然后分别提取列公因数 2 和 3

然后回到交换线，线。

列式变量符号，你可以回答。

2*3*（-1）d

如果在 6d 的问题 2 中存在非零解，则系数矩阵行列式为 0

系数矩阵行列式，第 2 列和第 3 列，分别减去第 1 列，得到 1 0 0

a (b-a) (c-a)

bc (b-a)c (c-a)b

然后，分别抽取第2列和第3列中的公因数b-a、c-a，从第3列中减去第2列，得到下三角形行列式，将主要对角线元素相乘，得到（b-a） （c-a） （b-c） = 0

则 b-a=0 或 c-a=0 或 b-c=0

即 a=b 或 b=c 或 a=c