函数 f x 2x m x 1 是区间 1,4 上的单调函数，则 m 的值范围为 m

解法：方法一：求解最基础教材中函数单调性的定义

设 1 x1 x2 4，然后：

f（x1）-f(x2)=（-2x1²+mx1+1）-（2x2²+mx2+1）

2（x1²-x2²）+m（x1-x2）

2(x1-x2)(x1+x2)+m(x1-x2)

2(x2-x1)(2x2+2x1-m)

分类讨论：如果 f（x） 在 [1,4] 中单调递增，则 f（x1）-f（x2） 0

x2-x1＞0，∴2x2+2x1-m＜0

m＞2（x2+x1）

因为 1 x1 x2 4， 2 x1+x2 8,4 2（x1+x2） 16

要使 m 2 （x2 + x1） 常数，则 m 16;

如果 f（x） 在 [1,4] 单调减法函数中，则 f（x1）-f（x2） 0

x2-x1＞0，∴2（x1+x2）-m＞0

m＜2（x1+x2）

4 2 （x1+x2） 16

要使 m 2 （x1 + x2） 常数，则 m 4;

综上所述：m 16 或 m 4;

方法二：从一维二次函数的图像求解;

f（x）=-2x +mx+1 的图像的对称轴为 x=-（m） -2*2=m4

区间 [1,4] 在对称轴的左侧或右侧是单调的，m4 1 或 m 4 4

溶液：m 4 或 m 16;

Upstairs 使用的方法 3，关于函数和导数之间的关系，但这种方法发现的单调性是区间 （1,4） 而不是区间 [1,4]，因此省略了 m=4 或 m=16。 这是使用导数来判断函数的单调性时最常见的漏洞。

因为 f'（x）=-4x+m 因此 f'（x） 单调递减。

然后 f（1）>f（4）>0 或 0>f（1）>f（4），所以 -4+m<0 或 -16+m>0

所以 m<4 或 m>16

f（x） 的对称轴是 x=-m2 （-2） =m4 如果函数在区间中是单调的，则区间位于对称轴的同一侧。

因此有：（1） m 4 1， m 4

2)m/4≥4,m≥16

所以 m<4 或 m>16

解：f（-x）=-f（x），f（x） 是 r 上的奇函数，因此只需要检查 x 0 的单调性。

当 x>0 时，f（x）=4x（x2+1）=4 （x+1x）=4 [（x-1x）2+2]。

显然，当x>1，x>1 x时，分母大于0并随x的增加而增大，因此f（x）单调减小;

当 0 为 x=0 时，f（x）=0。 因此，f（x） 在 [0,1] 上是单调递增的。

考虑到奇函数的对称性，r-上的对应区间仍然是r+中递增的区间。 因此，f（x） 在 [-1,0] 上也单调增加。

因此，函数 f（x） 的单调递增区间为 [-1,1]。

区间 （m，2m+1） 是一个单调递增函数，所以只有 .

1≤m≤11≤2m+1≤1

m<2m+1

解决方案-1

f（x） 显然是一个奇怪的函数。

作者：不等式 2|ab|<=a2+b2，当 a=b 或 a=-b 时取等号。

结果：-2=<4x （x 2+1）<=2，当 x=-1 时，f（x） 的最小值为 -2，当 x=1 时，f（x） 的最大值为 2

这增加了区间 （-1,1），因此我们有： -1 = 解：-1

m<2m+1 给出 m>-1，所以如果 x>0， f（x）>0，则设 g（x）=1 f（x），当 f（x） 为递增函数时，g（x） 为递减函数，g（x）=1 4（x+1 x），其减法区间为 （0,1），m>=0 和 2m+1<=1，m=0

当 x<0， f（x）<0 时，设 g（x）=1 f（x），当 f（x） 为递增函数时，g（x） 为递增函数，g（x）=1 4（x+1 x），其递增区间为 （-无穷大， -1），因此 2m+1<=-1，与 m>-1 矛盾，故 m=0

这个过程似乎没有错，但是如果你使用推导，它会简单得多，希望对你有帮助。

解 1：从导数开始，on [-1,1] 是一个递增函数，所以 （m，2m+1） 是它的子集。

所以 （-1,0]

方案二：分类：（1）当x=0时，函数为0

2）x不是0，分子和分母是x，所以y=1（x+1x），你把它写在草稿纸上，所以g（x）=x+1 x，你试着画一个图像，简单，然后倒下来。

下面证明 f（x） 是 （1,1） 上的递增函数。

取 -1，则 f（x1）-f（x2）=4x1 （x1 2+1）-4x2 （x2 2+1）=（x2-x1）（x1x2-1） （x1 2+1）（x2 2+1）<0

这个问题已经得到证实。

f（x）=x 2-2mx-3=（x-m） 2-m 2-3，此函数的图像为抛物线。

开口是向上的，对称轴。

是 x=m，则对称轴在左边减小，在右边增加。

因此，在 m 1 处，函数 f（x） 在区间 [1,2] 上递增。

m2，函数f（x）随区间递减[1,2]。

综上所述，可以看出忏悔燃烧：m 1 或 m 2

这个。 函数图像。

开口了，所以进来了。

对称轴。 左边的部分称为单调递减，即从负无穷大到对称轴，单调报应和姿态的间隔减小。

为了满足问题中给出的单调递减区间，只有给定的区间在函数的递减区间内，即对称轴的横坐标大于或等于 2

对称横坐标轴为 -m 2，即 -m 2 2

解决方案 m -4

对称轴是x=-m 4，因为区间[1,4]是单调区间，所以它在对称轴的同一侧，如果在对称轴的左侧，则4<=-m 4，m<=-16，如果在对称轴的右侧，则1>=-m4，m>=-4，所以m<=-16或m>=-4

从问题中可以看出！ f（x） 是对称的向上轴的开口的二次函数 x=-b 2a=-m 4！ 然后函数在 （负无穷大， -m 4） 上单调增加，在 （-m 4， 正无穷大） 上单调减小！ 因此 -16 m -4。

f（x） 的对称轴为 x=-m

2×（-2）］=m/4

如果函数在区间中是单调的，则区间位于对称轴的同一侧，因此具有：（1） m 4 1， m 4

2)m/4≥4，m≥16

所以 m<4 或 m>16

f（x）=2x 族陷阱 + MX + 1

2(x^2+mx/2)+1

2(x+m/4)^2+1-m^2/8

每周对称。 x=-m/4

只是尖峰参数区间位于对称周的一侧。

所以 -m 4<=1

米> = -4

或 -m 4>=4

m<=-16

对称轴 x = m4、m4 -1 或 m

4 4 解是：m -4，或 m 16，所以答案是：（-4] [16，+