关于高中功能的证明问题？ 知道 f（x） x，当 0 b a 时，f（a b） f（2a） （b a） 2a 被验证

f(a+b)-f(2a)=ln(a+b)-ln(2a)=ln[(a+b)/(2a)]=ln[(b-a)/(2a) +1]

原始不等式由以下因素组成：

ln[（b-a） （2a） +1]<（b-a） （2a） let t=（b-a） （2a），则 t+1=（b+a） （2a）b-a<0,2a>0，t<0，t+1=（b+a） （2a）>0，t>-1

ln(1+t)-t<0

设函数 g（x）=ln（1+x）-x，：

g'（x）=1 （1+x） -1=-x （1+x） g 当 x<0'（x） >0 和 g（x） 在 （- 0） 上单调递增。

1 即：ln[（b-a） （2a） +1]<（b-a） （2a）。

向下移除 （b a）。

f（a+b）-f（2a）] （b-a）}>1 2a （a>b>0） 从平均变化率和f（x）=lnx图像可以看出，左边的斜率比右边的斜率宽！将其乘回去证明 a>b>0 f（a+b） f（2a）<（b-a） 2a）。

前提：证明 f（x）=lnx 是凸函数或凹函数）。

f（x），9，= 那个，我想问 （a b）f（x）dx<= a b）g（x）dx 和 （a b）f（x）dx= （a b）g（x）dx，这不是矛盾吗？，反证证明。

考虑到 [a，b] 上 f（x），g（x） 的连续性，假设在 x0 [a，b] 的临界域 [x0-δ，x0+δ]0） 中，f（x） a b）f（x）dx = （a x0-δ）f（x）dx+ （x0-δ x0+δ）f（x）dx+ （x0+δ b）f（x）dx

因为 （a x0-δ）f（x）dx （a x0-δ）g（x）dx， （x0-δ x0+δ）f（x....0,

f（x） 在 [x1，x2] 上是连续的，有一个最大值 m 和一个最小值 m，m [t1*f（x1）+t2*f（x2）] t1+t2） m，根据中间值定理，有 c 液体场 （x1， x2），所以 f（c） [t1*f（x1）+t2*f（x2）] 为正 （t1+t2），即 （t1+t2）*f（c）=t1*f（x1）+t2*f（x2），所以区间（a，b）上有c，所以（t1+）。t2）*f（c）=t1*f（x1）+t2*f（x2）

您可能希望设置 f（c）<=f（d），让。

0 必须存在于 A 上，B 必须是一个点，满足。

f( ε=uf(c)+(1-u)f(d).

设 u=m （m+n），则结论为真。

对于任何 x （a， b），设 g（t） = f'(t)(x-a)(x-b)-2tf(x)

则 g（t） 在 [a，b] 上连续可推导，并且 g（a）=g（b）=0 根据 Rolle 定理，存在 （a，b） 使得 g'(ξ)=0f''(ξ)x-a)(x-b)-2f(x)=0f(x)=f''（ ）x-a）（x-b） 2 证书完成。

该构造包含早期拆解函数 f（x）=f（x+（b -a） 3）-f（x），则 f（a）+f（a+（b -a） 3）+f（a+2 3（b -a））f（a）+f（b）=0

设 [ a ，a + 2 3（b-a） ] 上 f（x） 的最大值为 m，最小值为 m，则 m=，8，这是一个日期数较多的证明问题

设 f（x） 在 [a，b]， f（a） =f（b） =0 上是连续的和非负的，并证明 [ a ， a + 2 3（b-a） ] 至少存在一个点 c ，因此 .

f(c + b -a )/3 ) f(c)

拉格朗日+柯西中位数定理。

使用 [a，b 上的拉格朗日中值定理] 证明 f（x） 存在 a，b，使得 .

f'(ξf(b)-f(a)]/b-a).（1）根据柯西的中值定理。

存在 a、b），例如。

f(b)-f(a)]/b-a)=(a+b)[f(b)-f(a)]/b²-a²)=a+b)*[f'(η2η)]2)

一般有（1）和（2）。

f'(ξa+b)/(2η )f'(η

那是。 ，6，对于 f（x） 使用 [a，b] 上的拉格朗日中值定理，则至少有一个点 （a，b） 使得 f'(ξf(b)-f(a)]/b-a)。

对于 f（x），x 2 使用 [a，b] 上的柯西中值定理，则至少有一个点 （a，b） 使得 [f（b）-f（a）] b -a）=f'（ 2 ）， 所以 [f（b）-f（a）] b-a） （b+a）f'(η2η)。

将两个公式结合在一起，f....3,

是常数）y'=0

y'=nx^(n-1)

y'=a^xlna；y=e^x y'=e^x

y'=logae/x；y=lnx y'=1/x

y'=cosx

y'=-sinx

y'=1/cos^2x

y'=-1/sin^2x

y'=1/√1-x^2

y'=-1/√1-x^2

y'=1/1+x^2

y'=-1/1+x^2

函数的变化率

一阶导数表示函数的变化率，最直观的表现形式在于函数的单调性，定理：设 f（x） 在 [a，b] 上是连续的，并且在 （a，b） 中有一个一阶导数，则：

1） 如果在 （a， b） f 中'（x） >0，则 [a，b] 上的 f（x） 是单调递增的;

2）如果（a，b）中的f'（x）<0，则[a，b]上的f（x）图单调减小;

3） 如果在 （a， b） f 中'（x）=0，则 [a，b] 上的 f（x） 图是一条平行于（或巧合）x 轴的直线，即 [a，b] 上的常数。