为什么圆的面积导数是周长，而球体的体积导数是面积？

从 [0，r] 和自变量 r（其值等于线 2 r 和自变量 r 的乘积的一半）的导数 2 r 的面积是原始函数 r 2 从区间 [0，r] 的增量，其值等于 r 2。 圆的面积可以等于周长乘以半径除以 2。 这是我小学学圆的时候学的，两个圆从某个点切成花瓣，然后上下像平行四边形一样锯齿状相互咬合。

切口越小，越接近矩形。 力矩面积的一半是周长乘以半径除以 2，即圆的面积。 一些特殊的正则图形，如圆形、正方形、矩形，其面积本身就与边长的平方成正比，与周长成正比，二阶函数的导数恰好是一平方，所以只要以边长的倍数作为自变量， 这将发生。

例如，如果以边长的一半作为自变量，则其面积的导数也等于周长，反之，如果以圆的直径为自变量，则其面积的导数为1/4 d 2，其导数为2/2 d， 这显然不等于圆的周长。球体面积也是如此，体积与半径的自然 3 次方比决定了这种情况。

这是导数 （x n） = n*x （n-1） 的导数，倒数用 r 找到。

这是导数 （x n） = n*x （n-1） 的导数，这里取 r 的导数。

你是不是绑错了，发现导数缺少一个维度。

巧合的是，我在高中的时候就想到了这一点，当时我问了几位数学老师，他们都不知道是怎么回事，说可能是巧合。 但我仍然钦佩你的体贴精神。

求导数时缺少一个维度。

形式上：球体积的导数=球的表面。

圆的面积。 的导数 = 圆的周长。

圆周的导数=整个圆的圆周角。

从某种意义上说：球的体积≠球表面的导数。

圆面积的导数≠圆的周长。

圆周的导数=整个圆的圆周角。

形式的巧合只是偶然的，意义的差异是不可避免的]因为圆是最特殊的图形：

圆的周长=小扇的弧长。

圆的半径 小扇形的弧度。

圆的半径为δ

r∑δθ2πr

rdθ 2πr

圆的面积 = 小环的周长 小环的宽度为 2 r δr

2 rdrr球体的体积=小球壳的面积和小球壳的厚度 4 r δr

4πr²dr

4πr³/3

这些是整合的基本思想和方法。

即：[除法，求和，取极限（过渡到积分）]导数是指空间的变化率：

如果球体的半径在变化，那么找到半径导数的意义在于：

由每个单位的半径变化引起的球体体积。

大小变化]。

它的大小正好等于球体表面的面积。

圆的面积和周长解释完全相同。

对于椭圆（球体），三角形来说，这是一个巧合。

正方形，立方体。

，不对！

作为一个有趣的分类，OK;

圈子只是特殊的常识

这其实很容易理解！ 我们先举个例子：我们知道速度是位移的导数，加速度是速度的导数，从这个角度来看，其实导数就是变化率，速度代表位移随时间的变化速度，加速度代表随时间变化的速度！

让我们把这个问题翻译成数学：圆的周长等于速度，半径看作时间，面积看作位移，圆的周长是面积的导数，物理意义是：圆的面积随半径的变化速度（即 面积的变化率）就是周长，周长，面积的变化率越大，实际上半径越长！

同理，球的体积等于位移，半径等于时间，面积等于速度，球的面积是体积的导数。

我们知道，无论是圆还是球体，随着半径的增加，每单位圆的面积和每球体的体积都会导致单位半径的增加！

因为每半径增长一点，面积就会增加一个圆，而当半径增长到趋于零时，圆的面积就变成了一条像周长一样的线。 后者是一样的。

从微观元素的角度来思考。

圆的面积由圆的周长组成。

圆 r 的半径由 2 r 的周长推导而来

还有半个球的体积。

它由一个个圆的面积组成。

所以半球体积 2 3 r 3

导数得到圆的面积 2 r

数一数它是什么，没有为什么。

s=r，导数2 r在极坐标中，即使周长，几何含义是圆上一个点的切斜率等于点的横坐标与圆心之间夹角的正弦值除以连接点与圆心和x轴的直线之间的夹角。

v=（4 3） r，4 r是以极坐标推导的，即球体的表面积，将4 r转换为笛卡尔坐标系可以直观地得到几何意义。

假设一个半径为 r 的圆是圆的中心，那么它的面积是第一象限面积的四倍，在第一象限中，它写为 y=root （r 2-x 2）。

那么圆的面积是 s=4*[x 从 0 到 1 的积分] 根数 （r 2 - x 2）。

x=rcosu，代入，简单计算得到 s=pi*r 2