可积函数在其子区间内是可积的吗？ 50

整体是可积的，任何子区间都可能是不可积的。 例如：

1 x 积分 0 in （-，但在子区间 （- 0） 和 （0， +. 事实上，两个子区间的积分值在几何意义上是相反的。

这也表明不可积子区间不影响积分区间的可加性。

可积是窄矩形曲面的累积和之和的总和极限（当最长的区间趋于零时）。

可在 [a，b] 任意闭合子区间中积分。 在上面的例子中，1 x 在 （- 或 [-1,1] 上是不可积的，并且可积必须是有界的。

有一个定理：函数 f 和 g 在闭区间 [a，b] 中定义，除了有限数量的点 c1 外，函数是,..的Cl，f 和 g 的函数值相等，如果 f（x） 在 [a，b] 处可积，则 g（x） 也是可积的，它们是可积的。

g 可以设置为闭区间上 f 的子函数。

证明：对于任意分区，这两个函数的整数定义之和之差小于一个固定值，当分区区间趋于0时，这个固定值也趋于0，因此当分区区间趋于0时，这两个函数的整数定义之和具有相同的极限， 然后根据积分定义，可以得到g（x）可积。

反证。 如果“间隔”一词不可积，则不可积，这与标题的意思相反，因此可以累积。

是的。

闭区间上有限个不连续面的有界函数是可积的，但说闭区间上的有界函数不一定是可积的，就不一定是可积的。

在闭区间中，满足后者的单位函数必须能够推导出它也满足前一个级数性质，即在闭区间中，可以从后推到前，但从前推到后，不一定。 具体表现是可导数必须是连续的，可导数必须是可积的，可导数必须是有界的，连续的必须是可积的，连续的必须是有界的，可积的必须是有界的。

黎曼点。 它在应用领域取得了巨大的成功，但黎曼积分的应用范围受到其定义的局限性的限制; 勒贝格积分是基于勒贝格测度理论的，该函数可以在更一般的点集上定义，更重要的是，它提供了比黎曼积分更广泛、更有效的收敛定理，因此勒贝格积分具有更广泛的应用范围。

f（x） 在闭区间 [a，b] 上的边界是 f（x） 在 [a，b] 上可积的必要条件，即：

f（x） 在 [a，b] 上可积 — f（x） 在 [a，b] 上有界。

不一定是有界的，例如 1 （x 1 2） 在 [0,1] 处（将 0 处的值定义为 0），积分值为 2，可积，但显然在 0 附近无界; 但很明显，闭合区间上的单调函数是有界的。

如果存在一个原始函数，那么这个函数可能是不可积的（函数是f（x），原始函数是f（x），命题必须在函数f（x）中。定义域积分只能在连续体内实现。 存在无限的不连续性，这就是需要注意的。 这样，就没有可积性了，因为无界函数没有黎曼积分。

闭区间。 直线上所有点的集合，位于一组固定的两个手点（包含给定的两个点）之间。 闭合区间是直线上连接的闭合集。 由于它是一个有界闭集，所以它是紧的。

闭合区间的函数小于或等于关系，即数轴上的 a +。

顶部是一个实心点。 闭合间隔的其余部分。

是两个开间隔的并集。 在实数理论中有一个著名的闭区间定理。

代表符号：[x，y]，即从x的值到y的值，包括x，y。 例如，如果 x 的值范围是 3 到 5 的闭合范围，那么它可以在数学上表示为 [3,5]，即介于 3（含）和 5（含）之间的数字。

如果存在多个 Hara Maho Hanhashi Xun Sakura，则函数不一定是可积的（函数是 f（x），原始函数是 f（x），并且只有当函数 f（x） 在定义的域中是连续的时，命题才能被积分。 到处都有无限的不连续性，这只需要注意这个敏感的会众。 这样，就没有可积性了，因为无界函数没有黎曼积分。

判断函数的可积性有 1 个条件。 该函数在 [a，b] 上是可积的，并且只有当 darb 上的和的极限等于 darb 上和的极限时，才是大滑移的极限，并且极限过程是分区间隔的最大长度趋于0。 --这也被称为：定积分第一个存在悄悄地模仿失败充分条件

当且仅当任意两个整数 c>0，d>0 存在 g>0 时，该函数在 [a，b] 上是可积的，并且当 [a，b] 的任一除法满足分区区间的最大长度时，c 的区间长度之和小于 d。

此外，还有一些特殊的可积函数，例如闭区间上的连续函数，其中只有有限的不连续性。

，并且闭区间上的单调有界函数在此闭区间上是可积的。

<>函数只有在充分条件下才能集成。

For：函数在间隔内是连续的。

它在区间内不是连续的，但第一种不连续性只有有限数量的不连续性。

跳过断点，就可以去断点了。

上述条件其实是黎曼可累积条件，可以放宽，所以它们只是充分条件。

它与禅录和禅录相同。

导入必须是连续的，连续不一定是导入。

连续必须是累积的，而累积不一定是连续的。

必须有一个边界，但边界不一定是累积的。

<>

积分变现功能的意义：如果函数 f（x） 在区间 [a，b] 上是可积的，则积分变量上限函数在 [a，b] 上是连续的。 如果函数 f（x） 在区间 [a，b] 内是连续的，则积分变量上限函数在 [a，b] 上具有导数。

如果函数 f（x） 在区间 [a，b] 内是连续的，则积分变量上限函数是 [a，b] 上 f（x） 的原始带。 乘积或属性函数 f（x） 仅包含积分变量 t，不包含参数变量 x。

证明可积性就是证明积分不是无限的，从而可以产生确定的值;

根据积分定理，闭区间上的单调函数必须具有最大值 max 和最小值 min：min [interval length] = “integral value = ”ode to max [interval town length]。

因此，闭间隔单调函数必须是累加的。

具体如下：

如果液体函数的积分存在并且是有限的，则该函数被称为可积函数。 一般来说，被积数不一定只有一个变量基，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。

纯积分的公式，无需大惊小怪。

1. A dx = ax + c，a 和 c 是常数。

2. x a dx = x （a + 1）] a + 1） +c，其中 a 是常数，≠ 1

3、∫ 1/x dx = ln|x| +c

4. A x dx = 1 LNA） A x + C，其中 A > 0，A ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + c

6、∫ cosx dx = sinx + c

7、∫ sinx dx = cosx + c

8、∫ cotx dx = ln|sinx| +c = ln|cscx| +c

函数可积性的充分条件：1.函数是有界的。

2.连续间隔。

3. 不连续性的数量是有限的。

函数可以在点集上定义，更重要的是，它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理，因此Lebeberg积分具有更广泛的应用范围。

任何可积函数都必须是有界的，但重要的是要注意，有界函数不一定是可积的。

可以统一处理有界函数和无界函数的情况，函数也可以在更一般的点集上定义，更重要的是，它提供了比黎曼积分更广泛和有效的收敛定理。 因此，Lebegus积分的应用领域更加广泛，特别是对于概率论和数理统计的深入研究。

给定一个集合 x 和一个 -algebra 和 的测度，如果正函数和负函数 f 都是可测函数并且它们的勒贝格尔积分是有限的，则实函数 f：x r 是可积的。