高中数列问题，尤其是第三个问题，清晰明了，通缩法的解法和推导解的解法清晰明了，谢谢

在 n 2 时，+a（n-1） = 2ana（n-1）+1

an-a(n-1)]²1

数字列是一个升序列，一个 a（n-1）。

an-a（n-1）=1，这是一个固定值，a1=1，是一系列相等的差值，其中 1 为第一项，1 为公差。

an=1+1×(n-1)=n

b1=2a1=2×1=2

b2(a2-a1)=2b1 b2×(2-1)=2b1

b2=2b1b2 b1=2，森林的比例为2

bn=2 2 （n-1）=2 搜索。

一系列数字的一般公式是 an=n; 该级数的一般公式为 bn=2

anbn=n×2ⁿ

sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn=1×2+2×2²+3×2³+.n×2ⁿ

2sn=1×2²+2×2³+.n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)

sn-2sn=-sn=2+2²+.2ⁿ-n×2^(n+1)

2×(2ⁿ-1)/(2-1)-n×2^(n+1)

1-n)×2^(n+1) -2

sn=(n-1)×2^(n+1) +2

2n+5） [bn （2n+1）（2n+3）]=2 市春局 （2n+1）-1 （2n+3）] 2

1/[(2n+1)·2^(n-1)] 1/[(2(n+1)+1)·2ⁿ]

tn=1/[(2×1+1)×2^0]-1/[(2×2+1)×2]+1/[(2×2+1)×2]-1/[(2×3+1)×2²]+1/[(2n+1)×2^(n-1)]-1/[(2(n+1)+1)×2ⁿ]

1/3 -1/[(2n+3)×2ⁿ]

1/[(2n+3)×2ⁿ]>0 1/3- 1/[(2n+3)×2ⁿ]<1/3

tn<1/3

提示：本问题没有采用通货紧缩法，而是通过推导（2n+5）[bn（2n+1）（2n+3）]，发现当找到tn时，去除了中间项，得到最终结果。 即使你使用消除裂缝的方法，如果你遵循通货紧缩的想法，你也会误入歧途。

因此，不要强迫解决方案是通货紧缩的。

合格后可更换开关，结合客户经理开机。

这是我的思路：

a1 = 1，所以有必要证明 1 a2+...1 an<1 2，所以很容易想到尝试让它成为 a2>4、a3>8、an>2 n，所以 1 4+1 8+......绝对小于 1 2。

事实上，它奏效了。

以下证明，当 n > 1 时，一个 >2 n，即 3 n>2 （n+1），处理这种情况最简单的方法是数学归纳法。

n=2,9>8，真。

当 n=k 为真时，则当 n=k+1 时，由于 3 k>2 （k+1），显然有 3 （k+1）>2 （k+2），因此 n=k+1 为真。

因此，对于所有 n>1，有一个 >2 n

所以原始< 1 1 + 1 4 + 1 8 +...1/2^n<3/2

房东忘了放。。

希望对你有所帮助。

在 n 2 时，+a（n-1） = 2ana（n-1）+1

an-a(n-1)]²1

数字列是一个升序列，一个 a（n-1）。

an-a（n-1）=1，这是一个固定值，a1=1，是一系列相等的差值，其中 1 为第一项，1 为公差。

an=1+1×(n-1)=n

b1=2a1=2×1=2

b2(a2-a1)=2b1 b2×(2-1)=2b1 b2=2b1

b2 b1=2，常用比为2

bn=2×2^(n-1)=2ⁿ

一系列数字的一般公式是 an=n; 该级数的一般公式为 bn=2

anbn=n×2ⁿ

sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn=1×2+2×2²+3×2³+.n×2ⁿ

2sn=1×2²+2×2³+.n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)

sn-2sn=-sn=2+2²+.2ⁿ-n×2^(n+1)

2×(2ⁿ-1)/(2-1)-n×2^(n+1)

1-n)×2^(n+1) -2

sn=(n-1)×2^(n+1) +2

2n+5)/[bn×(2n+1)(2n+3)]

2/(2n+1)-1/(2n+3)]/2ⁿ

1/[(2n+1)·2^(n-1)] 1/[(2(n+1)+1)·2ⁿ]

tn=1/[(2×1+1)×2^0]-1/[(2×2+1)×2]+1/[(2×2+1)×2]-1/[(2×3+1)×2²]+1/[(2n+1)×2^(n-1)]-1/[(2(n+1)+1)×2ⁿ]

1/3 -1/[(2n+3)×2ⁿ]

1 [（2n+3） 2 ]> 鹏旺 0 1 3- 1 [（2n+3） 2 ]<1 3

tn<1/3

提示：本题没有采用通货紧缩法，而是通过推导（2n+5）[bn（2n+1）（2n+3）]，发现当找到tn时，中间项被剔除，最终得到基础。

证据：an（an-1）=[2 （2 -1）][2 （2 -1） -1]=2 （2 -1）。

a₁(a₁-1)=2/(2-1)²=2

a₂(a₂-1)=2²/(2²-1)²=4/9a(n+1)[a(n+1)-1]/an(an-1)=[2ⁿ⁺¹/(2ⁿ⁺¹1)²]/[2ⁿ/(2ⁿ-1)²]=2(2ⁿ-1)²/(2ⁿ⁺¹1)²

当 n=1 时，a（a -1）=2<3，当不等式保持 n 2 时，n ai（ai-1）。

i=1=a1(a1-1)+a2(a2-1)+.an(an-1)<2+ 4/9+ (4/9)×½4/9)×½=2+ (4/9)×(1-½ⁿ/(1-½)=2+ (8/9)(1-½ⁿ

不平等也是事实。

综上所述，我们得到：n ai（ai-1） <3i=1

an(an-1)=[2ⁿ/(2ⁿ-1)][2ⁿ/(2ⁿ-1) -1]=2ⁿ/(2ⁿ-1)²

a₁(a₁-1)=2/(2-1)²=2

a₂(a₂-1)=2²/(2²-1)²=4/9a(n+1)[a(n+1)-1]

2 （2 ） =1 2 - n>1n=1， a （a -1）=2<3，当不等式保持 n>1 时。

n∑ ai(ai-1)

i=1=a1(a1-1)+a2(a2-1)+.an(an-1)<2+ 1/2+ (1/2)²+1/2)∧ⁿ1=2+ (1/2)(1-½ⁿ/(1-1/2)<2+(1/2)/(1/2)

3 不平等也是正确的。

综上所述，我们得到：n ai（ai-1） <3i=1

解决这个问题的想法是，它可以通过数学归纳法来证明。

这个问题是典型的使用缩放方法的问题，即通过通缩变换成熟悉的比例序列的总和。

证据：3>2>1、3 >2、3 -2 >0、an>0，即该系列的所有项目均为阳性。

a1=3¹-2¹=1，1/a1=1

1/a(n+1)]/(1/an)=[1/(3ⁿ+¹2ⁿ+¹/[1/(3ⁿ -2ⁿ )

1/a(n+1)]/(1/an)<⅓

1/a1+1/a2+1/a3+..1/an<1+1·⅓+1·⅓²1·⅓ⁿ=1·(1-⅓ⁿ/(1-⅓)

3/(2·3ⁿ)>0，3/2 -3/(2·3ⁿ)<3/21/a1+1/a2+1/a3+..1 和 3 < 2，不平等成立。