通过数学归纳法证明 1 n 2 1 1 2 1 3 1 2 n 1 2 n

1+n/2≤1+1/2+1/3+..1 （2 n） 1 2+n 证明： （1） 当 n=1， 1+1 2<=1+1 2<=1 2+1 时，原不等式成立。

2）当n=k时，命题为真。即 1+k 2 1+1 2+1 3+...

1 （2 k） 1 2+k（3） 当 n=k+1， 1+1 2+1 3+...1/2^k+1/(2^k+1)+.1/2^(k+1)>=1+k/2+1/(2^k+1)+.

1/2^(k+1)>1+k/2+1/2^(k+1)+.1/2^(k+1)>1+k/2+[2^(k+1)-2^k]/2^(k+1)=1+(k+1)/2 1+1/2+1/3+..1/2^k+1/(2^k+1)+.

1/2^(k+1)<=1/2+k+1/(2^k+1)+.1/2^(k+1)<1+k+1/2^k+..1 2 k<1+k+[2 （k+1）-2 k] 2 k=1+（k+1），即 n=k+1，原不等式成立。

因此，原来的命题是有效的。

证明当 n = 1 左 = 1 + 2 + 3 = 6 右 = 2 3 = 61+2+3+....当 n = k 时+2 k +1） = （k +1） （2 k +1） 成立。

当 n = k +1 时，left = 1+2+....+2 k +1）+（2 k +2）+（2 k +3）=（k +1）（2 k +1）+（2 k +2）+（2 k +3）= k +1）+1 2（ k +1）+1 所以当 n = k +1 时，方程也成立。

总之，任何自然数 n n * 的方程都成立。

技巧。 数学归纳法的步骤比较确定，要严格按照步骤去做题，特别是从n=k过渡到n=k+1的时候，这是数学归纳法应用的难点。

解题思路：直接用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式可以证明：（1）当n=2时，[1 2+1+

[24] 这个命题成立

2） 假设当 n=k 时，[1 k+1+

k+2+k+3+…+

2K 24]成立。

当 n=k+1 时，[1 k+2+

k+3+…+

2k+2k+1+

2k+2]=[1/k+1]+[1/k+2+k+3+…+

2k+2k+1+

2k+2]−

k+1＞2k+1+

2k+2−k+1，∵[1/2k+1+

2k+2−k+1＝

2(2k+1)(k+1)＞0，∴

k+1)+1+

k+1)+2+

k+1)+3+…+

2(k+1)＞

24]，当 n=k+1 时，命题成立

因此，对于任何 n 2，n n* 成立 ，10，

通过数学归纳法证明如下：

当n=1时，1 2=1*（1+1）*（2*1+1） 6为常数;

,......时 n=2

假设当 n=k 时，1 2+2 2+3 2+......k 2=k*（k+1）*（2*k+1） 6 成立，然后。

当 n=k+1 时，有 1 2+2 2+3 2+......k 2+（k+1） 2=k*（k+1）*（2*k+1） 6+（k+1） 2=（k+1）*（k+2）*（2*k+3） 6 当 n=k+1 时，方程也成立;

综上所述，可以得出结论，......

不过，只要多想点，就会有收获，不用数学归纳就能直接证明：

以下顺序满足一般术语 a[n]=1 2+2 2+3 2+......N 2 系列。

是的。。。。。。。。。公式 （n+1） 3-n 3=（n+1-n）*[n+1） 2+n*（n+1）+n 2]=（n+1） 2+n*（n+1）+n 2=（n+1） 2+n 2+n 2+n 2+n 2+n

n)^3-(n-1)^3=n^2+2*(n-1)^2+(n-1)……

n-1)^3-(n-2)^3=(n-1)^2+2*(n-2)^2+(n-2)……

等等。 3^3-2^3=3^2+2*2^2+2………式n-1）。

2^3-1^3=2^2+2*1^2+1………等式 n）。

将上面的等式左右相加。

（n+1） 3-1 3=[（2 2+3 +....）n^2)+（n+1）^2]+2*(1^2+2^2+……n^2)+(1+2+3+……n)

转移是简化和有组织的。

a[n]=[2*(n+1)^3-(n+1)*n-2*(n+1)^2]/6

n*（n+1）*（2*n+1） 6.

证据：当 n=1， 1 = 1*2*3 6 时，为真。

当 n=k 时，有 1 +2 +3 +k²=k(k+1)(2k+1)/6

当 n=k+1 时，左边 =1 +2 +3 +k +（k+1） =k（k+1）（2k+1） 6+（k+1） =[k（k+1）（2k+1）+6（k+1） ] 6=（k+1）[k（2k+1）+6（k+1）] 6=（k+1）（k+2）[2（k+1）+1] 6=右 综上所述，可以看出

无论 n 个正整数，1 +2 +3 +n = n（n+1）（2n+1） 6.

原来的命题得到了证明。

证明：当 n=1 时，很明显 1 （1 3）=1 （2 1+1） 成立，则原始公式成立。

假设当 n=k 时，有 1 1 3 + 1 3 5 +...1 （2k-1）（2k+1）=k 2k+1 为真，则当 n=k+1 时，1 1 3+1 3 5+...1/(2k-1)(2k+1）+1/(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)

k/2k+1

1/(2k+1)(2k+3)

k(2k+3)/(2k+1)(2k+3)+1/(2k+1)(2k+3)

2k²+3k+1)/(2k+1)(2k+3)

2k+1)(k+1)/(2k+1)(2k+3)

k+1)/(2(k+1)+1)

综上所述，从数学归纳可以看出，1 1 3 + 1 3 5 +...1/(2n-1)(2n+1)=n/2n+1（n=1，2，3，……建立。

这是一个繁琐的过程，但推理很清楚。

1/n(n+1)(n+2)=1/2n(n+1)-1/2(n+1)(n+2)=1/2(1/n+1/(n+2)-2/(n+1))

利用数学归纳法。

谚语 n=1 是有效的。

设 n=k 为 true 以证明 n=k+1 为真。

证明 1：当 n=1 时，左边 = 1*1！=1，对=（1+1）！-1=2-1=1

即左=右。

2. n=k（k 1） 是结论的假设是正确的。

即 1 1！+2•2!+.k•k!=(k+1)!-1 那么当 n=k+1 时，1 1！+2•2!+.k•k!+（k+1）（k+1）!

k+1)!-1+（k+1）（k+1）!

k+1)!+k+1）（k+1）!-1

1+（k+1）]（k+1）!-1

k+2）（k+1）!-1

k+2）!-1

k+1+1）!-1

也就是说，n=k+1 的结论是正确的。

因此，综上所述，原命题是有效的。

注意：从 n+1 到 3n，左边有 2n 项

1） 当 n=2 时，左 = 1 3 +1 4 + 1 5 + 1 6 = 57 60>54 60 = 9 10，保持

2） 假设 n=k，有 1 （k+1） +1 （k+2） +1 3k >9 10

然后 1 （k+2）+1 （k+3） +1 3（k+1）。

1/(k+1) +1/(k+2)+.1/3k] +1/(3k+1) +1/(3k+2)+1/(3k+3) -1/(k+1)

9/10 +1/(3k+3) +1/(3k+3)+1/(3k+3) -1/(k+1)

也就是说，当 n=k+1 时，命题也为真，因此原始不等式对 n n 为真，n>1 为真

你对这个问题并不严格，你必须限制 n>=2

因此，当 n = 1， 1 2 + 1 3 = 5 6< 9 10 时，n 是有限的。

通过数学归纳法证明如下：

1） n=2，时间，1 3+1 41 5+1 6=19 20>9 10

2） 假设 n=k，1 k+1+1 k+2+1 k+3+...1/3k-1>9/10-1/3k

那么当 n=k+1， 1 k+2+1 k+3+...1/3k-1+1/3k+1/(3k+1)+1/(3k+2)>9/10+1/3k+1/(3k+1)+1/(3k+2)-1/k+1

那么只需要 1 个 3k+1 （3k+1）+1 （3k+2）-1 k+1>-1 （3k+3）

即 1 3K+1 （3K+1）+1 （3K+2）>2 （3K+3）。

上面的等式显然是正确的，那么当n=k+1时，假设也成立。

综合 1）， 2） 可以知道不等式 1 n+1+1 n+2+1 n+3+...1 3n>9 10 对于任何 n>=2 都为真。