当 n 为正整数时，n 3 n 的值必须是 6 的倍数

n^3-nn(n^2-1)

n(n+1)(n-1)

因为 n 是正整数。

所以原来的公式是三个连续自然数的乘法，所以这个值必须是6的倍数。

n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)

是三个连续自然数的乘法，当然可以同时被 2 和 3 整除，所以它是 6 的倍数。

解：原始 = n（n 2-1）。

n(n-1)(n+1)

这是因为三个连续的自然数之一必须是 3 的倍数，并且还必须是 2 的倍数。

所以原始公式必须能被 6 整除。

1） 当 n=1 时，1 3-1=0 能被 6 整除。

当 n=2 时，2 3 2=6 能被 6 整除。

2） 假设当 n = k（k 是正整数）时，k 3-k 能被 6 整除。

那么当n=k+1时，（k+1）3-（k+1）=（k+1）[（k+1）2-1]=（k+1）（k+2）k

k（k+1）（k+2） 是三个连续正整数的乘积。

在三个连续的正整数中必须有 3 的倍数，并且其中至少一个必须是偶数。

所以 k（k+1）（k+2） 中有两个因子，分别是 2 和 3，它们必须是 6 的整数。

综合 （1） 和 （2） 表明，对于任何正整数，比率 n 3-2 是 6 的倍数。

n 3-n = n（n 2-1） = （n-1）n（n+1） 所以 n 3-n 是三个连续整数的乘积。

三个连续整数中的一个能被 3 整除，其中至少有一个是偶数，能被 2 整除。

因为 2 和 3 是舒适的。

所以 n 3-n 能被 2*3=6 整除。

数学归纳法。

1） 当 n=1 时，1 3-1=0 能被 6 整除，当 n=2 时，2 3 2=6 能被 6 整除。

2）假设当n=k（k为正整数）k 3-k能被6整除时，则当n=k+1（k+1）3-（k+1）=（k+1）[（k+1）2-1]=（k+1）（k+2）k

k（k+1）（k+2）是三个连续正整数的乘积，三个连续正整数中必须有3的倍数，并且其中至少有一个是偶数，所以k（k+1）（k+2）中的2和3两个因数必须由6个整数合成，并且（1）（2）可以看出，对于任何正整数， n， 3-n 必须是 6 的倍数。

n^3-n=n(n+1)(n-1)

所以 n 3-n 可以表示为三个连续自然数的乘积，三个连续自然数中的一个必须是 2 的倍数和 3 的倍数，因此它们的乘积值必须是 6 的倍数。

证明：原始公式 = （3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）=9n2-1-（9-n2

10N210（n+1）（n-1），n为正整数，（n-1）（n+1）为整数，即（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的值为10的倍数

简要证明思路如下： n 3-n=n（n 2-1）=n（n+1）（n-1） =n-1）n（n+1） 由此可知，如果大便闭合 n=1，则方程 0 是 6 的倍数，如果 n>1，则公式是三个连续正整数的乘积， 而在三个连续的正整数中，至少有一朵被埋的樱花是偶数，可以被2整除，而在三个连续的正整数中，一个必须是3的倍数。

因为6=1*2*3;在三个连续的整数中，至少有一个是偶数的，可以被 2 整除，而三个连续的整数必须有一个是 3 的倍数并且也可以被 3 整除，所以三个连续整数的乘积必须能被 6 整除 n 3-n=n（n 2-1） 1）n=2k（n 是偶数） n 3-n=n（n 2-1）=2k（4k 2-1）=2....

n*n*n-n）=n（n*n-1）=n（n+1）*（n-1） 上式等于 （n-1）*n*（n+1）。

这等于三个连续正整数的乘积。

三个连续的正整数至少包含一个 3 的倍数，其中一个数是偶数，即 （n-1）*n*（n+1） 能被 3 整除，然后能被 2 整除，即能被 6 整除，所以 （n*n*n-n） 的值是 6 的倍数。

n³-n=n(n²-1)=n(n+1)(n-1)=(n-1)n(n+1)

这个公式可以看作是三个连续正整数的乘积，任意三个连续整数的乘积是六的倍数。