当 x 0 时，验证 ln 1 x x 1 x 写出必要的过程。

方法。 1.使用函数单调性证明。

F（t）=ln（1+t）-t，t>=0f'（t）=1 （1+t）-1=-t （1+t）<0，t>0 给出 f（t） 在 （0，+ 单调递减，f（t） 在 t=0 时可以连续。

f（t）0 即

ln(1+t)0

让我们取 1 x （>0） 而不是 t have。

ln[（1+x） x]<1 x，x>0 命题得到证明。

方法。 2.中值定理的证明。

注意 f（x）=lnx，x>0，表明 f（x） 满足 [x，x+1] 上的拉格朗日中值定理的条件。

然后是 （x，x+1） 这样。

ln[(x+1)/x]=ln(x+1)-lnx=f(x+1)-f(x)=f'(ξ)x+1)-x]=1/ξ

和 1 （x+1）<1 <1 x，其中 （x，x+1） 有 1 （x+1）0 命题为真。

解：取函数 f（x）=ln[（1+x） x]-1 x，则当 x>0， f'(x)=lnx*(-1/1+x)<0;所以 f（x） 在 （0，+; 当 x > 0 时，f（x） 为 ln[（1+x） x]-1 x <0

所以 ln[（1+x） x]<1 x

证明： x 0

函数 f（u）=lnu in.

1） 闭合间隔 [x，x+1] 连续。

2）打开间隔。

x，x+1）。

因此，由微分中值定理。

知道：在开区间 （x，x+1） 中至少有一个 c 点。

f（c）=[f（x+1）-f（x）] [（x+1）-x]，其中 x c x+1

f′(u)=1/u∴f′(c)=1/c

x c x+1

1/(x+1)＜1/c＜1/x

1/(x+1)＜[f（x+1）-f(x)]/[(x+1)-x]＜1/x

即 1 （x+1） [ln（x+1）-lnx] [（x+1）-x] 1 x

1/1+x

设 f（x） = sin（x 2） - （x ） 则 f'(x)=1/2*cosx/2-1/π

订购 f'（x）=0 给出 x=2arccos（2） 是唯一的站点。

当 0 的范围打开时。

0 x 的值始终大于 0

即 sin（x2）>x

此外，这个问题可以直接利用函数的凹凸性质。

因为 y=sin（x 2） 是二阶导数。

小于 0，因此函数 y=sin（x 2） 在开区间 0x

解：x>1，所以如果你在不等式的两边除以 x-1，那么 （x+1）lnx x-1 使 f（x）=（x+1）lnx-x+1

f'(x)=lnx+(x+1)/x-1

`lnx+1/x

f''（x）=1 x-1 x =（x-1） x 当 x>1， f''（x） >0，此时 f'（x） 单调递增。

当 00所以 f（x） 单调增加。

f（1）=0，所以当x>1（x-1）lnx>（x-1）时。

设 y=x-1-lnx

y'=1-1/x=(x-1)/x>0

描述 y 单次增加。

x 从正方向接近 1，y>0

所以 y>0，即 lnx0

描述 y 单次增加。

x 从正方向接近 1，y>0

所以 y>0，即 lnx>（x-1） x

所以当 x>1， （x-1） x

证明 ： f（x）=xlnx-（x-1），f'（x）=lnx>0 （因为 x>1） f（x） 是一个递增函数，而 f（1）=0，所以 f（x）>f（1）=0， x>1是的，（x-1） x0（因为 x>1），g（x） 是一个递增函数，g（1） = 0，所以 g（x）>g（1）=0、x>1 和 （x-1） x

设 f（x） = （x 1） lnx 2（x 1） 则：f'（x）=lnx （1 x） 1=h（x） 则：h'（x） = （1 x） （1 x），在 x>1， h 处'（x） >0，即

h（x） 在 x>1 处递增，其最小值为 h（1）=0，因此得到 ：f'（x） x>1 处的最小值为 f'（1） = 0，所以 f'（x） 在 x>1 处常青为 0，即函数 f（x） 在 x>1 处递增。

对于 x>1，总是有 f（x）>f（1）。

f(x)>0

即，当 x>1， （x1）lnx 2（x1）>0 则：当 x>1， x1>2（x1） lnx

设 f（x）=ln（1+x）-x+1 2x 2，显然有 f（0）=0，下面证明当 x>0 时，f（x）>f（0）=0

也就是说，只要能证明 f（x） 是 x>0 处的递增函数'(x)=1/(1+x)-1+x=(x^2+x+1)/(1+x)-1>(x+1)/(1+x)-1=0

当 x>0.

因此，f（x） 是 x>0 处的递增函数，即 f（x）> f（0）=0，即 ln（1+x）-x+1 2x 2>0，则 ln（1+x）>x-1 2x 2

设函数 y=（1+x）ln（1+x）-x

推导：y = （1+x）*（1 （1+x））+ln（1+x）-1=ln（1+x） 的破坏导数。

显然，在 x>0 处，ln（1+x）>0 是常数，因此函数 y 是 x>0 处的递增函数。

当考虑初始值 x=0 时，当前源宽度为 y=0

因此，当 x>0， y>0 已知时，即当 x>0， （1+x）ln（1+x）>x

当 x=0 时，两边均为 0

然后在两边找到导数，左边是 1 （1+x），右边是 1 （1+x） 2。

在 x>0 时，两个导数均> 1

老。 1+x)^2

总是“1+x，即左边的引导皮肤总是右边的导数。

两边的起点是一样的，左边增加快，绝对回程是所以左边一定在右边。

如果我没有学过导数，我就做不到。 ）

因为 x>0， x+1>1， ln（x+1）>0 需要证明 ln（x+1）> x 2-x 3

即 0> x 2-x 3

即 0>x 2（1-x）。

因为 x 2 恒大是 0

因此，只需要 0>1-x

即 x>1

如果条件不足，则无法永久建立 x>1。

在这一点上，可以明确讨论，当 x>1 时，不等式是恒定的;

当 1>x>0 时，不等式不成立。