为什么导数函数的不连续性只能是第二种类型？

先决条件：点和点是可导数的，并且是导数函数。

存在。 （1）如果导数函数存在不连续性，则只能是第二种类型的不连续性。 （2）等价命题：

导数函数中没有一流的不连续性。 （3）概念沉思：如果导数函数在某一点有左右极限，会不会在这一点上中断？

4）使用定义：考虑在这一点上设置导数具有权利限制。写出右导数的定义，就可以在假设下使用洛皮达规则。

找到极限。 是的！ 在这种情况下，右导数=导数的右限，右连续！ （5）导数定义：函数在某一点上可推导的充分必要条件。

满意的答案：走在窗台上Level 22011-05-05对导数函数的不连续性一定是第二类不连续性的结论的疑问。

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提问者： CYD1990

报告。 既然其导数函数中存在第二种不连续性意味着该点的左导数不能等于右导数，那么既然违反了该导数在该点上可能的条件（即左导数=右导数），那么如何解释它在（a， b)?

函数的导数中存在第二类不连续点，只能说明它的导数（导函数的导数是原始函数的二阶导数）不等于该点的右极限。 也就是说，此时该函数的二阶导数的左极限不等于其右极限 f''(x-)

f''(x+)；这并不意味着点的左导数不等于右倒数（f'(x-)f'（x+））我们称这些函数为一阶平滑。

让我们以分段函数为例来给你一个想法： 设 f（x） 定义如下：

当 x0 时，f（x）。

x^2。该函数的一阶导数存在，并且 f'（x）可以描述如下：当x

如果积分后在不连续点处有左右极限，则可能存在基元函数。 以下是一些示例：

设 f（x）=xsin（1 x），x≠0 ; 当 x=0 时，f（x）=0。 则 f（x）=f'(x)=sin(1/x)-(1/x)cos(1/x),x≠0。

当 x=0 时，f'（x） 不存在。 很容易知道 x=0 是 f（x） 的第二种不连续性，但 f（x） 具有原始函数 f（x）。

类型 2 不连续性简介：

第二种类型的不连续性点是当函数的左极限和右极限中至少有一个不存在时。 第二种不连续性有很多种，如无限不连续性、振荡不连续性、单边不连续性、狄利克雷函数不连续性等，但高校数学和考研只需要掌握无限不连续性和振荡不连续性，所以条目只详细讲解了这两类。

设 f（x） 在 （a，b） 处可推导，x0 属于 （a，b），这是 f（x） 的不连续点。

使用反参数方法：如果它是第一种不连续性 f'（x） 点 x0 处的右导数为 a+，左极限为 a- x（x） 在点 x0 处的右导数为 a+，左导数为 a-，由于 x0 点处的 f（x） 导数存在，因此左导数等于右导数等于 f'（x0） 启动 f'（x） 点 x0 处的极限等于 f'（x0） 启动 f'（x0） 与 x0 处的已知连续矛盾，因此不存在第一种不连续性。

如果是第一种不连续性 f'（x） 点 x0 处的右极限是 a+，左边的极限是 a- 引入 f（x） 点 x0 处的右导数是 a+，左导数是 a- 这里的证明存在逻辑错误，命题本身在证明过程中使用，导数在某一点处的左右极限没有给出该导数在变化点处的值（即， 导数的左极限和右极限）。错误的做法是颠倒因果关系，正确的方法应该是使用拉格朗日中值定理来得到 x0 处 f（x） 的左右导数等于 f'（x） x0 点的左右限制。

我从 660 中得到了证明：设 f（x） 在 （a，b） 处可推导，x0 属于 （a，b），这是 f （x） 的不连续点。 与该方法相反，如果第一种不连续点 f （x） 在点 x0 处的右极限为 a+，则左极限为 a-，f（x） 在点 x0 处的右导数为 a+，左导数为 a-，并且由于 f（x） 在点 x0 处的导数存在，因此左导数等于右导数等于 f （x0） 和 f （x） 的极限在点 x0 等于 f （x0），并且 f （x0） 的极限与点 x0 的已知值连续矛盾，因此不存在不连续性点 ps：

f（x）指的是f（x）的导数，所以恐怕有些人看不清。 累。

这个结论是不正确的。

函数 f（x） = <0， x> （sint t）dt，f'（x） = sinx x 具有一级不连续性 x = 0。

有一个导数连续性定理。

设扩散 f（x） 在 x0 的邻域内。

是连续的，并且除了点 x0 之外，在该邻域中是可导数的，其导数为 f'(x)。如果当 x 趋向于 x0 f 时'（x） 有一个极限，那么 f（x） 也可以在 x0 处推导，并且有 f'(x0)=lim(x→x0)f'(x)。

根据这个定理，我们马上就知道，如果一个函数在一个区间上是可推导的，那么它的导数在该区间上不会有一流的不连续性。

换言之，如果区间中存在一级断点，则没有原始函数。

断裂可以分为无限断裂和非无限断裂，在非无限断裂中，也存在不连续性。

和跳跃休息。 左右极限的存在和相等是不连续点，左和右极限的存在和不相等是跳跃不连续性。

此时的函数可以未定义为参数。

当接近这一点时，函数的值在两个常量之间无限多次变化。 例如，函数 y=sin（1 x） 位于 x=0。

从上面对不连续性的描述可以看出，函数 f（x） 同时存在于第一种不连续性的左右极限，而函数 f（x） 决定了第二种类型的卖出断点。

左限制和右限制中至少有一个不存在，这是第一种不连续性和第二种不连续性之间的本质区别。

函数 f（x） 存在并且等于点 x0 处的左右极限，但不等于 f（x0） 或 f（x） 在点 x0 处未定义。 然后函数 f（x） 在点 x0 处是不连续的，点 x0 称为函数 f（x） 的断点。

是的。 但它严格的叙述是：

如果 f（x） 在区问题 （a，b） 内的每个点上都可以推导，则 f'（x） （a、b）中没有I类中断。 旧皮带。

因此，f（x）=|x|，其导数f'（x） 满意：

当 x>0， f'(x)=1；

当 x>0， f'(x)=-1；

当 x=0 时，f'(x)=f'（0） = 不存在。

虽然 x=0 是 f'（x） 第一种不连续性，但这不算在内。 当我们说导数没有第一种不连续性时，我们的意思是，当导数在每个点都存在时，他没有第一种类型的不连续性，并且不包括在导数中某一点不存在的这种不连续性。

可到达的中断和跳跃中断属于第一类中断。

在第一种不连续性中，有两种情况是左极限和右极限的存在是前提。 当左右极限相等，但不等于点 f（x0） 的函数值或该点未定义时，称为不连续点，如函数 y=（x 2-1） （x-1） 在点 x=1;当该点的左右极限不相等时，称为跳断点，如函数 y=|x|x 在 x=0 时。

连续与不连续的定义。

假设函数 y=f（x） 在点 x0 的偏心邻域中定义，如果函数 f（x） 的极限存在于 x x0 处，并且等于它在点 x0 f（x0） 处的函数值，即 limf（x）=f（x0）（x x0），则称函数 f（x） 在点 x0 处是连续的。

导数，即设 y=f（x） 为单变量函数，如果 y 存在且左导数和右导数存在且在 x=x0 时相等，则称 y 在 x=x[0] 处可导数。 如果一个函数在 x0 处是导数，那么它必须在 x0 处是连续的。

函数的可推导条件：

如果一个函数在所有实数的域中定义，则意味着该函数是在它上面定义的。 在定义域中，点的可导性需要一定的条件：函数的左导数和右导数在该点存在并且相等，并且不能证明点导数的存在。

只有当左导数和右导数存在并且相等，并且在那个点上是连续的，才能证明该点是可推导的。

可推导函数必须是连续的;连续的函数不一定是可推导的，不连续的函数也必然是不可推导的。

您处于导数不存在的情况下，并且当导数存在时，存在相等或至少一个不存在的左极限和右极限（类型 2）。 当导数在 x0 处不存在时，也可以有第一类，但定义域不包括 x0。

可到达的中断和跳跃中断属于第一类中断。

在第一种不连续性中，有两种情况是左极限和右极限的存在是前提。 当左右极限相等，但不等于点 f（x0） 的函数值或该点未定义时，称为不连续点，如函数 y=（x 2-1） （x-1） 在点 x=1;当该点的左右极限不相等时，称为跳断点，如函数 y=|x|x 在 x=0 时。

连续与不连续的定义。

假设函数 y=f（x） 在点 x0 的偏心邻域中定义，如果函数 f（x） 的极限存在于 x x0 处，并且等于它在点 x0 f（x0） 处的函数值，即 limf（x）=f（x0）（x x0），则称函数 f（x） 在点 x0 处是连续的。

间断：

1. x=x0 点没有定义;

2. 虽然在 x=x0 中有定义，但 lim（x0） f（x） 不存在;

3. 虽然定义了 x=x0 并且存在 limf（x）（x x0），但 lim f（x） ≠f（x0）（x x0） 在 x0 处被认为是不连续的或不连续的。

第一类导数函数不存在不连续性在其定义域中，即导数函数在其不连续点处定义（即原函数在此点有导数），那么该点不可能是导数函数的第一类不连续点，原因是这样的， 如果导数函数在该点被定义（原始函数在该点是可推导的），并且导数函数的左极限和右极限在该点存在但不相等，则原始函数在该点上有一个左导数和一个右导数，它们等于导数函数在该点的左和可定义极限， 但是由于这两个极限不相等，所以原函数在该点的左导数和右导数不相等，这与事实相矛盾

楼主，这个结论确实只是针对封闭区间的，结论可以参考李永乐的研究生院数学复习本的71页，因为**上传不了。