已知函数 f x 满足 f x 2f 1 x x 对于任何不为零的 x，并且找到 f x

这是一个非常经典的功能问题，但实际上并不难。 你记住了这个解决方案的过程，以后如果遇到这样的问题，就把它带进来。

由于 x ≠ 0，因此列出了两个方程：f（x） = 2f （1 x） + x f（1 x） = 2f（x） + 1 x

2+①:f(x)+2f(1/x)=2f(1/x)+x+2f(x)+1/x

对不起，因为我不知道如何使用特殊符号，我只能从word粘贴和复制，所以速度有点慢。 解决数学问题的方法非常有规律，记住经典题型的解法，然后进行推论。 保持良好的工作

将 x 替换为 1 x 得到另一个方程。

f(1/x)-2f(x)=1/x

两个联动方程得到：f（x）=-1 3（x+2 x）。

设 1 x=t 所以 x=1 t

所以 2f（t） = 1 t-f（1 t）。

所以 2f（x）=1 x-f（1 x）。

因为 f（x）=2f（1 x）+x

消除 f（1x） 即可。

函数 f（x） 的解。

实数 k （0,1 4） 的范围。

f(x)=f(x+2)

周期为 2f（x），这是一个偶函数。

x [0,1]。

f(x)=x

x [ 时间。 f（x）=-x（相对于 y 轴的对称性）。

当周期为 2 倍时 [1,2]。

y=-x+2

x [2,3]。

函数 y=f（x）-kx-k 在函数 y=x-2 [-1,3] 上有 4 个零 f（x）=k（x+1）。

g（x） 低于这条直线。

此时，斜率 = 1 （3+1） = 1 4

f（x） 满足 f（x+1）=-f（x）， f（x+2）=f（（x+1）+1）=-f（x+1）=-（-f（x））=f（x），表示 2 是 f（x） 的循环。

当 x [-1,0] 时，则 -x [0,1]，当 x [0,1] 时，f（x）=x 2，f（-x）=（-x） 2=x 2，并且 f（x） 是偶函数。

在区间 [-1,3] 中，函数 g（x）=f（x）-kx-k 有四个零点，相当于区间 [-1,3] 中曲线 y=f（x） 和移动线 y=k（x+1） 之间的四个交点。

当直线 y=k（x+1） 通过点 （3,1） 时，k=1 4

f（x）=a x-x，f（1-x）=a（1-x）-（1-x），对于任何 x 属于 （0,1），不等式 f（x）f（1-x） 1，<=a-x 2）[a-（1-x） 2]>=x（1-x），=x（1-x），

设 u=x（1-x） （0,1 4），变成 2-a（1-2u）+u 2-u>=0，即 （a+u）（a+u-1）>=0、a<=-u 或 a>=1-u、a<=-1 4 或 a>=1。

当 x 从 0->1 2 时，f（x） 从 0->1 和 f[f（x）] 从 0->1->0

当 x 来自冰雹 1 2->1 时，f（x） 来自 1->0，f[f（x）] 来自 0->1->0

f[f（x）]为2个峰的形状，两个峰的最大值为1，取最大值时为x<1;所以总共有 4 个 x 满足 Songno 作品

f（xy）=f（x）*f（y），得到：f（1*1）=f（1）*f（1），f（1）>0 由 f（1）=1 得到

2） 取任意 x1>x2>0，则 f（x1）=f（x2*（x1 x2））=f（x2）*f（x1 x2）。

由于 x1>x2>0，x1 x2>1，所以 f（x1 x2）>1 得到 f（x2）*f（x1 x2）>f（x2），即：f（x1）>f（x2）。

函数 f（x） 是一个单调递增函数 （3） f（-1*（-1）=f（-1）*f（-1）， f（x）>0， f（1）=1

f（-1）=1

f（-x）=f（-1）*f（x）=f（x），所以f（x）是一个偶函数（4） f（x-2）-f（2x-1）<0得到f（x-2）3或x<1 2

f(x+2)=f[(x+1)+1]=1/f(x+1)=1/[1/f(x)]=f(x)

所以 f（x） 是周期为 2 的周期函数;

因为 f（x） 是偶函数，当 x [-1,0] 时，f（x）=f（-x）=-x

这样，就可以完全确定函数f（x）的图像;

g（x）=f（x）-kx-k有四个零，即方程：f（x）=k（x+1）有四个根;

绘制函数 f（x） 和直线 y=k（x+1） 的图像，并检查直线的斜率变化

在区间 [1,3] 上，当 k=0 时，有一个交点;

01 4 其余情况没有交集;

所以函数 g（x） 不能有四个零;

你在看标题吗？

用 [-1,3] 求解。

因为 f（x） 是一个偶数函数，所以 f（x）=f（-x） 所以 f（x+1）=f（-x-1）=-f（x） 对于 f（-x-1）=-f（x），当 x 的值为 -x 时，我们得到 f（x-1）=-f（-x） 和 -f（-x）=-f（x）=f（x+1） 所以 f（x-1）=f（x+1） 因此， f（x）=f（x+2）， 则 f（x） 是一个周期为 2 的偶函数。

当 x [0,1]， f x x 时，由于 f（x） 周期为 2，我们可以绘制一个相对于 y 轴对称的粗略图像。

函数 g x f x kx k

当定义的域为 [ 1,1] 时，g（x）=x2-kx-k 和 b 2-4ac>0

当定义的域为 [1,3] 时，g（x）= （x-3）2 -kx-k 和 b 2-4ac>0

您可以找到 k 值。

F（x） 现在根据标题找到。 在分离参数时，将 k 分离，构造一个新函数，并得到导数。

谁说 f（x0） = f（x1）。

你能得到 x0=x1 吗？

显然不是。

例如，f（x）=cos x，满足偶数函数 f（x+1）=-f（x） 和 f（1）=-f（0）。

即 CCOS = -cos0