在立方体中 ABCD A1B1C1D1。 EF 是 BB1CD 的中点。 求向量 EF 和向量 CB1 之间的角度

设立方体的边长为 1 个长度单位，以 a 为原点，ab 为 x 轴，ad 为 y 轴，aa1 为 z 轴，建立空间笛卡尔坐标系 a（0,0,0），b（1,0,0），c（1,1,0），d（0,1,0），a1（0,0,1），b1（1,0,1），c1（1,1,1），d1（0,1,1），e（1,0,1 2），f（1 2,1,0）， 向量 ef=（-1 2,1，-1 2）， 向量 cb1 = （0，-1,1）， 向量 ef·cb1 = 0-1-1 2=-3 2， ef|=√（1/4+1+1/4）=√6/2，cb1|= （1+0+1）= 2，设向量 ef 和向量 cb1 之间的角度为 ，cos =ef·cb1 （|ef|*|cb1|)=（-3/2）/(√2*√6/2)=-√3/2,=5π/6

矢量 EF 和矢量 CB1 之间的角度为 150 度。

也可以不搭建坐标系，先连接A1D，再连接A1D CB1，取正方形ABB1A1的对角线M的交点，连接DM，显然DM EF，DM=EF= 6 2，A1M= 2 2，DA1=2，用余弦来理解三角形DA1M，A1DM是直线CB1和EF形成的对平面的角的余弦， 而解是30度，根据矢量的方向，它应该是一个钝角，所以它是150度。

坐标法：设立方体边长为1，取b1为原点，b1c1为x轴，b1a1为y轴，b1b为z轴，建立空间直角坐标系，则向量b1a=（0,1,1）向量b1c=（1,0,1）和向量ef=（1 2,1 2，-1 2）的向量b1a*向量ef=0+1 2-1 2=0和向量b1c*向量ef=1 2+0-1 2=向量EF由0得到，向量B1A和向量B1C形成一个垂直于平面的平面，即向量EF是平面Ab1C的法向量。

如果您需要其他方法，可以再做一次。

分别取CC1、AD、CB的粗中点g、h、i，连接EHIG，连接ABC1D1，从郑正到平面EHIG平行于平面ABC1D1，EF在平面EHIG上。 因此，很容易推导出缺陷，EF平面ABC1D1

连接 D1B 由于 E 和 F 分别是 DD1 和 DB 的中点，因此 EF 是三角形 DD1B 的中线，EF 平行于 D1B。 由于 d1b 是平面 abc1d1 上的线段，因此 EF 平行于 abc1d1

作为BC的中点G，连接FG，因为FG垂直于BC，回沌智B1B，所以FG垂直于平面BB1C1C，所以平面EFG垂直于平面BB1C1C，所以EF垂直于B1C

A1D1 垂直于面 ABB1A1

所以 ae a1d1

在 CC1 上，取中点 g 并连接 dg dg ae dg d1f 以消除 ae 高萎 d1f

所以失败高度 ae 垂直于平面 a1d1f

设立方体的边长为 a，c1d1 的中点为 f1。

a1f²=9a²/4

d1f = 5a 裂纹蝗虫手 4

a1d1²=a²

因此，a1f = 9a 4 = d1f + a1d1 被怀疑为 d1f a1d1

因为广告 a1d1

所以 ad d1f