向大师提出一个关于对角化的线性代数问题

它不是对角矩阵，而是对称矩阵。

要学习线性代数，乃至所有数学知识，除了掌握各种代数形式的变换技巧外，还需要了解代数形式背后的含义，精通数学的人也能掌握代数形式变换过程中所蕴含的意义。

线性代数应与空间坐标系一起学习。 理解向量、矩阵和行列式在变化过程中的图形含义，每章中的许多定理实际上是一回事。

对于这个问题，还需要了解对角化的概念和数学意义。 矩阵，尤其是平方，可以看作是线性变换的一个参数，称为线性变换矩阵。 对于对称数组，对角化将这种特定的线性变换分解为三个线性变换，其含义很简单：

正交矩阵表示正交变换（不改变形状和大小，它是全等变换，原点不移动，只改变坐标系的方向），对角矩阵表示展开变换（几个正交方向的膨胀和收缩），然后一个q'变回原来的方向。 aq=q = q，这很清楚。 q 的列向量是模量 1 所需的特征向量。

当然，列向量的排列顺序并不是唯一的。

但是 a 的线性变换是唯一的。 因为它用于执行任意向量ax的线性变换，所以向量x可以表示为qqy中列向量的线性组合，那么这个变换首先等价于q的线性变换，然后变换结果就是一个线性组合aqy，即ax。 开玩笑说，A当然是唯一的。

为什么对角化，它应该是对角线的，每个矩阵对应一个线性方程组，我们的目的是求方程组的解，变成对角矩阵的形式，解不是很清楚吗？ 至于你说的，为什么会这样说，我们所做的只是一个矩阵变换，可逆线性变换在变换时不会改变相应方程的解，正交变换是可逆线性变换的特例，可以有很多变换数组，我们根据公式ax=bx通过特征值和特征向量找到变换矩阵， （x 是特征向量，b 是特征值）变形为：x'ax=b，q 是特征向量组合，所以 q'aq=b b b 是特征对角矩阵。

这确实是人们发现的手动计算的最简单、最快捷的方法。 呵呵，以前读书的时候，我也有同样的疑惑，呵呵，善良，你这里的q不是r1、r2,..rn。

你只懂得做题，却不懂原理，因为你没有遇到好老师，你学的线性代数课本太差了。 一个真正好的老师会从几何的角度向你解释为什么会有这些东西。 画一个直观的图表，告诉你一个矩阵对应一个球的旋转和运动，如果你用钉子将球固定在空间的某个点上，球只能沿钉子轴线的方向旋转。

你可以想象你是一个球上的一个点，它本来可以在三维空间中自由移动，但现在你受到限制，只能在二维平面上移动。 然后，如果运动对应于矩阵，则有一个维度消失，或者其特征值为 0

这是另一个例子。 比如，一个手电筒照在桌子上，光圈是一个圆，手电筒稍微倾斜，你得到一个椭圆，再倾斜一点，椭圆越来越长，最后光圈出台，这时你得到一个抛物线，还有双曲线。 如果将孔径曲线视为二次矩阵，则椭圆是具有正特征值的矩阵，抛物线是正特征值为 0 的矩阵，抛物线是具有正和负特征值的矩阵。

类似的栏目还有很多，只要你愿意多读书，就不难理解。

实际上，线生成并不像您看到的那么简单。

我是物理专业的学生，我给你举个例子。 牛顿运动定律; 牛顿在研究运动定律时推导出第二定律f=马时，并没有使用f，或者牛顿力，因为他自己研究的时候没有这个概念，是后人把f力称为牛顿单位。 事实上，他使用了动量和冲量的公式，这也涉及到微积分的雏形，我们知道a代表加速度，它本身就是一个倒置的量，或者说微分。

好吧，我说得太糟糕了，简单地说，我们在书本上学到的是过去四五百年来顶级科学家的工作。 微积分创立于17世纪，当时这个理论在今天的物理学领域相当于弦理论，很少有人能理解它。 在被提炼成现成的工具之后，现在可以教给本科生，当我们去背诵那些莱布尼茨和拉格朗日时，谁在乎它们最初是如何推导出来的。

当然，这也是应试教育的可悲之处。

最后，我想说的是，关于线性代数，上了这门课之后，唯一的作用就是你可能要考研究生入学考试，你这辈子基本上都见不到他。

对角化问题一般有以下步骤：

1.求矩阵的特征值。

2.确定矩阵是否为对角线。

3.如果可以对角化，则获得矩阵的特征向量。

4.可对角化，存在一个可逆矩阵 p，使得 p 是逆的 ap=lambda。

p 由 a 的特征向量组成，lambda 由 a 的特征值组成（为了对应）5为了找到 p 的倒数，使用了增强矩阵 （p，e） 初等变换。

n 次方 = p（n）p 倒数。

赞美！

， a， =0 显然问题不能对角化 a;

a. ≠ 0，a 2=aa 有反 a （-1），inv（a） 用来表示 a 的倒数，即 a*inv（a）=inv（a）*a=e，所以 inv（a） 乘以方程 a 2=a，两边得到：a=e，并且 a 已经是对角线了。

如果 n 阶矩阵 a 的 k 权特征根有 r（ e-a）=n-k，则对角化是必要的。

选项 a：1 是双倍特征根，r（1e-a）=2≠3-2，因此矩阵不能对角化;

选项 b：1 是 3 倍特征根，r（1e-a）=1≠3-3，因此矩阵不能对角化;

选项 c：1 是 2 倍特征根，r（1e-a）=1=3-2，因此矩阵可以对角化;

选项 a：1 是双倍特征根，r（1e-a）=2≠3-2，因此矩阵不能对角化;

所以答案是c。

对角化和相似对角化没有区别，取一个对角化矩阵时，当满足特征值时，可以取与原始矩阵相同的顺序的特征向量，对角矩阵与原始矩阵相似，所以这两者实际上是同一事物的不同项。

相似性是一种等价关系，对角化等价于在相似性意义上给一类矩阵赋予简单的等价形式，便于理论分析。 相似矩阵具有许多相同的属性，例如特征多项式、特征根、行列式......如果只考虑这种性质，那么相似的矩阵可以被认为是无差分的，那么只有通过研究它的标准形式，即对角矩阵，才能研究一般的可对角矩阵。 对角矩阵是最简单的矩阵类型，非常方便研究。

此过程等同于在等效类中选择最令人愉悦的元素。

你好！ 没有区别，一般来说，一个矩阵可以对角化意味着它可以类似地对角化。 经济数学团队将帮助您找到答案，请及时。 谢谢！

线性代数，对角化和近似对角化是有区别的，对角化是真对角化，相似对角化不是真对角化。

矩阵对角化的前提不是特征值不能相同吗？

否则，如果特征向量相同，则特征向量矩阵将是不可逆的，不能对角化。

答：你的这种说法是错误的！ 这并不是说相同的特征值不能对角化，而是：

定理：如果矩阵有 n 个线性独立的特征向量，则矩阵是对角线的。

也就是说，只要重特征值有一个重根数的线性独立向量，那么特殊也可以对角化（不同特征值对应的特征项向量必须是线性独立的）。

那么，单位矩阵 e 呢？

特性方程式|e-lamdae|=0，两个解均为1，即特征值中有两个1，然后求解线性方程组（e-lamdae）x=0的解，求0=0，任意解。

也就是说，e可以通过任意可逆矩阵p得到p（-1）e（p）=e，结论是显而易见的。

问题是：为什么e的特征值存在重复，为什么特征向量不能任意求解，仍然是一个争论"可对角化"矩阵？

这和我的第一句话有冲突，所以第一句话错了？ 还是 e 是个例外？

答。 既然 e 的特征值为 1，而 （e-lamdae）x=0 的解有 n 个线性独立解，即有 n 个线性独立的特征向量，那么它就可以对角化了，而不是一些特例！

矩阵的相似性：

设 a 和 b 是 n 阶矩阵，如果存在一个 n 阶可逆矩阵 p 使 p （-1）*a*p=b 为真，则称矩阵 a 与 b 相似并表示为 b。

因此，只要分别找到两个矩阵的特征值，就谨慎行事。

如果相等，则相似。

看来还有其他方法可以抗拒孝道。

我忘了。 有关于它的书。

至于判断对角化。

将 n 阶矩阵转换为阶梯矩阵。

然后查看对角化矩阵是否具有 n 个线性独立的特征向量。

也就是说，秩是否等于 n。

如果相等，Chang 可以做对角线词。

除某些特殊情况外，仅根据特征值无法完全判断对角化。

可对角化的本质是存在 n 个不相关的特征向量。 （所有其他讨论都是基于这一基本性质）。

特征向量具有对应于不同特征值的特征向量线性独立的性质。 （如果存在 n 个不同的特征值，则肯定可以对角化）。

因此，目前主要关注的是相同的特征值。 如果一个特征值出现 k 次（k 重根），那么它必须有 k 个特征向量。 （好像叫代数倍数、几何倍数什么的，本质就是这么说）。

以三阶矩阵为例（考考和考研一般也是三阶），特征值有三种情况：1. 这三者都是单的，并且由于矩阵属于不同特征值线性独立的特征向量，因此有三个线性独立的特征向量，可以对角化。

二。 如果它有两个线性独立特征向量，你可以对角化它，如果它只有一个特征向量，你就不能对角化它，它与单根无关。 三。

如果特征值是三重根，那么只有当有 3 个线性独立的特征向量时，它才能被对角化，即 e a 是零矩阵，所以 a 是数量矩阵，即在这种情况下只能对角化数量矩阵。

首先，有两种矩阵，对称矩阵和不对称矩阵。

对称 1对称矩阵必须对角化（因为它的所有特征值都对应于彼此线性独立的特征向量）。

2.对称矩阵的对角化可以用 ptap= 或不对称的 p-1 a p= 不对称来完成。

1.多根数等于对应于双根（对角化条件）的线性独立特征向量数。

2.考虑到您应该是初学者，您只能使用 p-1 a p= 来查找对角矩阵，现在请记住这一点。

对于n阶矩阵，对角化的关键在于能够找到n个不相关的特征向量（这n个特征向量可以形成一个变换矩阵）。 如果矩阵的 n 个特征值不相同，则矩阵必须是对角线的，因为对应于不同特征值的特征向量必须无关紧要。 但是，如果存在多个特征值（可以理解为某些特征值希望相同），则取决于这些多个特征值是否能找到相应数量的不相关特征向量。

例如，如果存在三重特征值，那么这些三重特征值是否能找到三个不相关的特征向量（求解方程的知识、基本解系统的数量）决定了它是否可以对角化。

n阶矩阵对角化的充分和必要条件是存在n个线性独立的特征向量。 如果要用特征值的多重性来回答你的问题，那就是矩阵的每个特征值的多重性等于其特征空间的维数。

特征值的多重性称为代数多重性，相应特征子空间的维数称为几何多重性。

因此，矩阵对角化的充分和必要条件之一是矩阵的每个特征值的代数多重性等于其几何多重性。

因此，如果n阶矩阵a的某个特征值a为k重，则当对应特征矩阵ae-a的秩r（ae-a）=n-k时，方程组（ae-a）x=0的基本解系统包含k个解向量，即解空间的维数为k，即 特征值 A 的特征值 A 的维数为 K当矩阵的每个特征值都满足上述条件时，矩阵就可以对角化了。