关于极值点的问题，极值点的定义是什么？

事实上，f'(x)=f''（x）=0 的点也称为拐点，例如，当 f（x）=x 3 时，x=0 处有一个拐点。

如果一个点是极值点，则导数必须为 0 或不存在。 如果导数不存在，则二阶导数不存在。 但如果存在，那一定是0，然后就要看二阶导数了，如果不是0，就是极值点，如果是0，就是拐点，但是这个时候，极值点是否需要讨论高阶导数。

在这种情况下，让 f 的第 n 次导数到该点非 0 值的最小导数（它不能全部为 0，否则该函数可以证明该函数是该点泰勒之后邻域中的常数函数），如果 n 是偶数，则它是极值点，否则不是。

对不可任意推导的函数的分析有点复杂，但大致相同。

这里有必要区分“函数的导数（简称函数的导数）”和“函数在某一点的导数”之间的区别。

当一个函数的二阶导数为0时，它的一阶导数是常数，函数的二阶导数在极值处为0，这与此不同，所以不要混淆。

示例：f（x）=x 4，极值点 x=0，一阶导数为 f'(x)=4x^3,f"（x）=12x 2，极值点的二阶导数为0，但函数的二阶导数不为0

当然，如果 a 存在于定义域中，则 f'(a)=0,f"（a）=0，那么a不一定是函数的极值，会有一个更复杂的讨论，在高等数学中介绍。

如果 f（a） 是函数 f（x） 的极值，则当函数 f（x） 获得极值时，a 被称为对应于 x 轴的极值点。 极值点是函数图像子区间中最大值或最小值点的水平和垂直坐标。

极值是函数的最大值或最小值。 如果函数位于某一点附近其中到处都有一个确定的值，该点的值是最大值（小），该点的函数值是最大值（小）。 如果它大于（小）邻域中所有其他点的函数值，则它是严格意义上的最大值（小）。

因此，这一点被称为一极值点或严格的极值点。

计算方法：1）单变量函数极值法。

a.求导数 f'(x)。

b.求方程 f'（x）=0。

c.检查 f'（x） 在函数图像中。

左值和右值的符号，如果左为正，右为负，则 f（x） 取此根的最大值 如果左为负，右为正，则 f（x） 取此根的最小值。

特别注意：f'（x） 荒谬的观点也应该讨论，即先找到 f'（x）=0 和 f'（x） 无意义的点，称为可疑点，然后根据定义来判断。 例如：

f (x)=x|x = 0 处的导数不存在。

2）二阶连续偏导数。

函数 z = f（x，y） 的极值方法描述如下：

a.求解方程组 f scab（x，y）=0， f，（x，y）=0，求实解，然后求所有驻点。

b.对于每个站点 （xo，yo），求二阶偏导数的值 a，b，c3。

c.AC-B2 的符号用于确定 f（xo，yo） 是极值、最大值还是最小值。

注意：当函数仅在区域 d 中时，某些异常值（x、y）没有噪声，这些点不是函数的静止点，但这些点可能是函数的极值点，应单独讨论。

1. 找到最大最小值的步骤：

求导数 f'(x)；

求方程 f'（x）=0。

检查 f'（x） 等式左边和右边的值的符号，如果左边是正的，右边是负的，那么 f（x） 取这个根处的最大值; 如果左边是负数，右边是正数，则 f（x） 在这个根处最小值。

f'（x） 还应讨论毫无意义的问题。 你可以先找到 f'（x）=0 和 f'（x） 无意义的点，然后根据定义判断。

2. 寻找极点的步骤：

查找 f'(x)=0,f"（x） ≠0 的值;

用极值的定义（半径不磨难，邻域小。

f（x） 的值小于或大于该点的点是极值点），并讨论了 f（x） 的不连续点。

上述所有点的集合是极值点的集合。

函数的极值点、稳态点和拐点的概念很容易被许多学生和老师混淆。 如何正确理解极值点、稳态点、拐点，主要基于定义和相关认识，只有理解了定义域定理，进而找到它们的本质区别，我们才不会混淆。

站点、极值点、拐点是微积分中无法绕过的知识点，要想充分掌握它们，就必须掌握核心定义，而不是死记硬背一些推论。 了解本质是处理不断变化的问题的唯一途径。

1.核心理念：

站：是函数的一阶导数为0点，站点也叫稳定点，临界点

例如：y=x3，然后 f（x） = 3x2，设 f（x）=0，如果 x=0，则 x=0 是函数 y=x3 的地理静力点。

极值点是函数的单调性变化的点，或者函数的局部最大值或最小值（或者，当函数有导数时，函数的极值点是其导数的变量符号的零点）。

例如：y=x2，如图所示，在x=0时，函数的单调性发生变化，或者在x=0附近的区域内，f（0）得到一个极小值，两者都表明x=0是函数y=x2的极值点。

言论：当我们找到函数的极值时，我们通常使 f（x） 为 0 的一阶导数，但一阶导数为 0 的地方不一定是极值点，例如 y=x3，则 f（x） = 3x2，设 f（x）=0，求解为 x=0，在这种情况下，x=0 不是函数的极值，因为函数在 x=0 时的单调性不会改变。

拐点：是函数的二阶导数为 0 且三阶导数不为 0 的

例如：

我们以 f（x）=x3 为例，看看拐点是什么，如图所示：在 （0,0） 处函数的凹凸度发生变化，我们知道二阶导数为正，原函数为凸，二阶导数为负，原函数的凹函数。 函数先凹后凸，所以（0,0）是函数的拐点。

言论：在拐点处，函数的凹凸性质发生变化，当二阶导数大于0时，函数图像为凹面。 如果二阶导数小于 0，则函数为凸函数。

2.区别与联系

零点、静止点和极值点都是指函数 y=f（x） 的横坐标 x0，而拐点是指函数 y=f（x） 图像上的一个点 （x0， f（x0））。

驻点和极值点：导数函数 f（x） 的极值点必须是它的驻点，但相反，函数的驻点不一定是极值点。 例如，上面示例中的 y=x3 和 x=0 是函数 f（x） 的平稳点，但它们不是极值点。

此外，如果函数的一阶导数不存在，则函数也可以获得极值，例如 y=|x|，导数在 x=0 时不存在，但极值点为 x=0，如下图所示。

稳态点和极值点与函数的一阶导数有关，拐点与函数的二阶和三阶导数相关。

3.内容摘要。

极值和极值之间的差异定义不同。 f（a） 是函数 f（x） 的最大值或最小值，则 a 是函数 f（x） 的极值点，最大点尘埃和最小值或游泳点统称为极值点。 函数的最大值或最小值是函数的极值。

2.表达方式不同。 函数的极值用横坐标的值表示，函数的极值用坐标轴上的纵坐标值表示。

如果 f（a） 是函数 f（x） 的最大值、圆或最小值，则 a 是函数 f（x） 的极值点，最大值、最小值和最小值统称为极值点。

极值点是函数图像子区间中最大值或最小值上限的横坐标。 极值点出现在函数坍缩旁边的静止点（导数为 0 的点）或不可导数点（导数函数不存在，也可以获得极值，在这种情况下，静止点不存在）。

极值点的确定。

如果函数在区间 （a， b） 内可推导，并且区间中有一个点 x0，则满足 f'（x0）=0，此时x0可能是也可能不是极值点，判断方法如下：

如果 f'（x） 满足 f on （组橡木 A， x0）。'（x） <0，满足 （x0，b） 上的 f。'（x） >0，则 f（x0） 为最小点。

如果 f'（x） 满足 （a，x0） 上的 f。'（x） <0，满足 （x0，b） 上的 f。'（x） <0，则 f（x0） 为最大点。

如果 f'（x） 不改变区间 （a， b） 上的符号，则 f（x0） 不是极值点。

如果函数在区间内是二阶可导数，并且具有 f'(x0)=0,f''（x0） <0，则 f（x0） 为最大点，如果 f''（x0） >0，则 f（x0） 是最小点，如果 f''（x0）=0，则f（x0）可能是最大点，可能是最大点，最小点，也可能不是极值点。

1.可能的极端点。

有哪些类型？ 2.有几种极端点的情况。

3.什么样的点是极点？

4.必须达到什么极点？

1.可能的极值点：静止且不可推导。

2.Station：一阶导数。

0 的点是静止点。

3.非开放性指南：由无序的年龄前定义的观点，并且不存在衍生物。

4.导数不存在的不连续点。

5.连续点，但左右两侧的斜率不一样，即导数不一样，不可导数。

6.有定义，连续，平滑，但斜率是无限的。

7.判断是否为极值点的原则：看静止点的左右，函数的增减有没有变化，有极值点，没有骚动。