不定方程数学问题 15、不定方程数学问题

设 8 个连续的正整数为：n， n+1， n+2,--n+7，它们的总和为：8n+28;

7个连续正整数之和为：m，m+1，m+2,--m+6为：7m+21;

3个连续正整数之和为：k，k+1，k+2，和为：3k+3;

1> 8n+28 =7m+21---m=（8n+7） 7=n+1+n 7，n的可能值：

n=7，14，21，--7l(l=1,2,3,4,--

2> 8n+28 ≠3k+3---k≠（8n+25） 3=2n+8+（2n+1） 3，n 不可取：

n≠1，4，7，--3j-2(j=1,2,3,4,--

将 1 和 2 结合起来，n 的最小值为 14，连续 8 个正整数中最大数的最小值为 14+7=21。

该问题要求它为正整数，而 0 不是正整数。

n+(n+1)+.n+7）=4（2n+7）=8n+28 八个连续正整数的总和。

m+(m+1)+.m+6）=7（m+3）=7m+21 七个连续正整数的总和。

8n+28=7m+21

7m=8n+7

m=8n/7 +1

k+k+1+k+2=3k+3 三个连续正整数的总和。

8n+28=3k+3 3k=8n+25 k=（8n+1） 3 +8 m=9 k=27 k 当 n=7 可以是整数时，四舍五入。

当 n=14 m=17 k=113 3 +8 k 不是整数时，n 满足条件。

8 个正整数的最小值为 14

不定方程解：可分除法、奇偶校验法、尾数法、组合选项替换法、全等特性。

1. 可分割

应用环境：等式末尾的常数项与等式前面的未知系数具有相同的可整除性质。

2.奇偶法。

应用环境：方程中未知数的系数以奇数和偶数的形式存储。

注意：奇数奇数=偶数=偶数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数=奇数，偶数*偶数=偶数。

3.尾数法。

应用环境：尾数法用于考虑方程中以 0 或 5 结尾的数字的出现。

4.结合期权替代方式。

应用环境：通过可分法、奇偶校验法或尾数法排除部分选项后，无法确定正确的选项，其余选项通过代入剔除，确认最终选项。

5.相同的特性。

注：余数之和决定了总和的余数，余数的乘积决定了乘积的余数。

37x+107y=25，解y=（25-37x） 107=（25-37x.）'）/（-4）=（-12-37x''）/（-4）=3-37x'''

代入原公式得到 x 通式 = -8 + 107x'''

1.在 158 米长的路段中，使用了两条相同厚度的软管，长 17 米，长 8 米，每种长度（不截断）的管道使用多少根管道来铺平 158 米长？

由于总长度为 158 米，那么 17 米长最多使用 9 根管子，可以假设使用 17 米的水管来查看剩余长度是否正好是 8 米的整数倍。

这种方法是列举一根17米长的水管的各种可能性，看看哪种情况是合适的，这称为穷举法。 当有许多理想的情况时，这种方法当然不能令人满意，但在理想情况很少的情况下是可行的。

例如，如果 x 用于 17 米长的水管，y 根用于 8 米长的水管，则可以列出等式。

17x+8y=158 （1）

这个问题需要这个方程的正整数解。

我们使用以下方法来找到这个方程的整数解。 首先，将方程变形为：

8y=158-17x （2）

8y=152+6-16x-x （3）

由于 152 和 16x 都是 8 的倍数，因此 6-x 也应该是 8 的倍数，并且 x 只能取为 6，并且 y=7 可以从 （2） 使用 6 代 x 计算。

因此，使用了 6 根 17 米水管，使用了 7 根 8 米水管。

也可以通过将等式 （2） 的两端除以 8 来获得。

y=158-17x/8 y=152+6-16x-x/8 y=19-2x+(6-x)/8

由于 x 和 y 是整数，而 19-2x 也是整数，我们知道 6-x 8 也是一个整数。 显然只有当 x = 6 时，6-x 8 才是整数。 此时 6-x 8 0，y=7

这种解决方案称为整数分离或整数分离。

2.该车可容纳54人，该车可容纳36人，想乘坐的人有378人。

分析：如果你需要 x 辆车和 y 辆车，你可以得到方程式。

54x+36y=378

由 （54,36）=18,18|378，原方程可以简化为。

3x+2y=21

并且必须有一个整数解决方案。

很容易看出 x=1 和 y=9 是 3x+2y=21 的整数解，因此求解了 3x+2y=21 的所有整数。

x=1+2t y=9-3t

t 是任意整数。

3x+2y=21 除了 t=0 之外，还有一个整数解 x=1 和 y=9，当 t=1 时，有一个整数解 x=3 和 y=6。

当 t=2 时，存在整数解 x=5 和 y=3。

当 t=3 时，存在整数解 x=7 和 y=0。

因此，您可以要求 1 辆大车和 9 辆小车; 或3辆大型轿车和6辆小型轿车; 或5辆大型轿车和3辆小型轿车; 也可以让所有 378 名乘客上车，并装满所有 378 名乘客，只要 7 辆大型汽车，没有小型汽车。

当 t 4 时，解失去相关性，因为 y 不再是 0 和正整数。

假设有一个非零解，并且 （x，y，z，w）=1（因为如果有一个公约数，所有 4 个数字都可以按约定除法，并且空数仍然满足方程）。

由于 （x 2+y 2） 3=z 2+w 2 是一个整数，x 2+y 2 可以被 3 整除。

而且因为 3k、3k-1、3k+1 的平方被 3 除以，余数只能判断为 0,1，所以要使 x 2+y 2 能被 3 整除，x，y 必须是 3 的倍数。 设 x=3x1， y=3y1，得到 3（x1 2+y1 2）=z 2+w 2

同样，z 和 w 必须是 3 的倍数。 设 w=3w1， z=3z1 使 x，y，z，w 有一个 3 的公约数，这与假设相矛盾。

因此，不存在非零解这样的东西。 结论是有效的。

必要性很容易证明。 注 d d = （a， b）。

然后将等式的两边除以 d，得到：ax d+by d=c d

左边是整数，所以右边一定是整数，因此 d|c.

据说它是一个不定方程。

那么问题就是两个问题了！

问题 1 变形是 x=10+y+3y 5 要使 x 成为整数，则 y 是 5 的整数倍，所以设 y=5k（k 是整数），则 x=10+8k

解是 x=10+8ky=5k（k 是整数）。

问题 2 变形是 x=17-y-（4y-6） 7 要使 x 成为整数，那么 4y-6 是 7 的整数倍，所以设 4y-6=7ka（ka 是整数）。

y=ka+1+（3ka+2） 4 要使 y 成为整数，则 3ka+2=4kb（kb 是整数）。

ka=kb+（kb-2） 3 要使 ka 成为整数，则 kb-2=3k（k 是整数），即 kb=3k+2

根据上面第 3、2 和 1 行中的方程，第一次和第二次可以在一轮内求解。

x=10-11k，y=5+7k，（k为整数）。

相比之下，第二个问题更具代表性，每次首先呈现整数部分时，都会按顺序取以下方程，直到其中一个方程的正确分数。

分子上的常数项。

如果系数为0（第一个问题为8y+0）或未知数系数为1（第二个问题为1 kb-2），则此时可以再写一个方程（如第一个问题为y=5k，第二个问题为kb=3k+2）。

这种方法效果很好！ 希望大家能多找几个题目反复练习，这样自己会更熟练地运用神数，答案是对的，可以代入k的整数值，得到原方程的整数解！

1） 求方程 7x+19y=213 的所有正整数的解.

19y<213

y<=11

再。 213 被 7 和 3 整除，x 可以被 7 整除。 统治者早茄子。

19y 除以 7 以平衡 5y = 7k + 3

则 y=2 或 9

y=2 =>7x=175 , x=23

y=9 =>7x=42 , x=6

2）三元线性方程x+y+z=1999的非负整数解的个数。

等价于 （x+1）+（y+1）+（z+1）=2002 的非负整数解数。

相当于 x'+y'+z'= 2002 年正整数解的数目。

这相当于将 2002 个球排成一排，并用两块燃烧板将它们分成三部分。 然后是。

2001 年选择 2 = 2001000 个分区。

因此 x'+y'+z'=2002 的正整数解数为 2001000。

因此，（x+1）+（y+1）+（z+1）=2002 有 2,001,000 个非负整数解。

因此，x+y+z=1999 的非负整数解数个数为 2001000。