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牛顿、莱布尼茨、拉尔、柯西等。
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据记载,牛顿对微积分的研究始于1664年,当时他非常仔细地研究了笛卡尔的巨著《几何学》,并对书中寻找曲线切线的方法着迷。
经过两年的思考,1666年10月,牛顿写下了数学史上第一部微积分《流数简论》,历史性地提出了“流数”的概念。 牛顿将“流数”与速度相对应,即位移函数与时间的微商,然后使用速度与时间的微商作为加速度。 经过三年的深思熟虑,牛顿完成了他的第二篇论文《用无限多项式方程分析》,给出了求因变量相对于自变量的瞬时变化率的一般方法,也证明了通过求变化率的逆过程可以得到面积,这实际上非常接近微积分的基本定理(即 牛顿-莱布尼茨公式)。
1671年,牛顿在第三篇文章《流数与无穷级数》中完善了第一篇文章的内容,使讨论和方法更加清晰。 又过了五年,牛顿写了他最成熟的微积分**《曲线二次论》,进一步加深了他对对流数的理解,清楚地描述了微积分的基本定理,并给出了一系列他自己发明的符号。
至此,一代巨人完成了创立微积分的伟大壮举。 然而,由于性格保守内向,牛顿很长一段时间都没有公开发表他的**,只有少数朋友知道。 直到 1687 年,在他的朋友哈雷的鼓励和要求下,牛顿才出版了他的巨著《自然哲学数学原理》,直到那时,牛顿的微积分著作才被公开。
正是牛顿的犹豫,引发了牛顿和莱布尼茨之间关于谁是“微积分之父”的百年之争,也造成了英国科学界与欧洲大陆的长期隔阂。
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1.从微积分成为一门学科的角度来看,那是在17世纪,但积分的概念早在古代就已经产生了;
2. 积分论的早期历史:公元前 7 世纪,古希腊科学家和哲学家泰勒斯将微积分纳入他对球体面积、体积和长度的研究。 公元前3世纪,古希腊数学家和机械师阿基米德的著作《圆的测量》和《论球体和圆柱体》已经包含了积分主义的萌芽;
3.微积分的产生:在十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题成为促成微积分出现的因素。 归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一种是研究直线运动时。
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1.早期分化。
早在公元前 7 世纪,古希腊科学家和哲学家泰勒斯就将微积分纳入了他对球体面积、体积和长度的研究。 古希腊数学家和机械师阿基米德(公元前 287 年,公元前 212 年)在他的著作《圆的测量》和《关于球体和圆柱体》中已经包含了积分科学的萌芽。
2.限制思维。
早在公元前 7 世纪,古希腊科学家和哲学家泰勒斯就将微积分纳入了他对球体面积、体积和长度的研究。 在公元前4世纪,“墨书”有无限、无穷小(最小的没有内部)、无穷大(最大的没有外部)的定义,以及极限和瞬时性的概念。
3.微积分思想。
微积分的思想虽然可以追溯到古希腊,但其概念和定律是在16世纪下半叶在开普勒、卡瓦列里等人的不可加权思想和方法的基础上诞生和发展起来的。 这些思想和方法可以在公元5世纪刘晖对圆锥体、平台和圆柱体体积公式的证明到祖恒求球体体积的方法中找到。
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到了十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题成为微积分的催化剂。 综上所述,大约有四种主要类型的问题:第一种是研究运动时直接出现的问题,即找到即时速度的问题。
第二类问题是找到曲线的切线的问题。 第三类问题是查找函数的最大值和最小值的问题。 第四类问题是求曲线的长度、曲线所包围的面积、表面所包围的体积、物体的重心以及作用在另一个物体上的相当大的体积物体的引力。
十七世纪许多著名的数学家、天文学家、物理学家都做了大量的研究工作来解决上述问题,如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、德沙格; 巴罗,英国的瓦利斯; 德国的开普勒; 卡瓦列利和意大利的其他人提出了许多非常成功的理论。 为微积分的创造做出了贡献。 十七世纪下半叶,伟大的英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨在前辈工作的基础上,分别在各自国家研究并完成了微积分的创造,尽管这只是非常初步的工作。
它们最大的优点是将两个看似不相关的问题联系起来,一个是切线问题(微积分的中心问题),另一个是乘积问题(积分的中心问题)。牛顿和莱布尼茨将微积分确立为直观无穷小量的起点,因此这门学科在早期也被称为无穷小分析,这是当今数学中分析的一大分支的名称。 牛顿对微积分的研究侧重于运动学,而莱布尼茨则侧重于几何学。
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在研究级数时,牛顿注意到,为了使函数成为无穷级数,必须引入无穷小的概念,以确保级数具有收敛性质。 这一发现本身就是对数学研究的重要贡献。 然而,牛顿并没有就此止步,他将无穷小引入笛卡尔的坐标系,并研究了自变量的无穷小变分与函数关系中相应变化之间的比例和关系,发现了人类有史以来最强大的数学分析工具——微分法和概念,他当时称之为流数法。
用流数法,牛顿轻而易举地做到了当时人们想做却做不到的事情:求曲线的正切线,求曲线的变化率和变化率的变化率,求函数的最大值和最小值,统一求曲线所包围的面积, 等等。牛顿进一步发现,这种流量数方法可以直接使用,也可以反向使用。
直接使用时,可以找到曲线的正切(或函数的导数); 相反,您可以从切线找到一条曲线,或者从导数中找到一个函数,并且您可以轻松地计算出曲线所包围的面积。 牛顿流数法和反流数法就是我们今天所知道的微分法和积分法。
差异化和整合太重要了。 过去,在伽利略、开普勒、笛卡尔、惠更斯等人手中无法解决和困难的问题,以及许多前人研究过的动力学和运动学问题,正在研究,许多尚未研究过,但在牛顿手中,当前数和反流数法就成了简单的问题。 微积分后来成为所有科学研究最基本的计算工具,成为衡量一个人是否受过正规科学训练的重要指标之一。
二项式定理和微积分的发现是数学史上的一个重要里程碑。 然而,当时只有23岁的牛顿并没有完全意识到这一点。 他当时的数学研究表明,他是有史以来最伟大的数学天才之一,但他并不关心数学,而是关心物理世界的结构和运动。
在他看来,他新发明的数学方法只是解决问题和计算的工具,是用来解决物体运动问题。 他敏锐地意识到,开普勒的行星运动定律和伽利略的物体运动定律的数学表达式可以用他的新方法以同样的方式处理:通过将行星的轨道和类地物体的轨道放入适当的笛卡尔坐标隧道系统中,并通过流数法连续两次找到导数, 人们会得到相同的东西,这将对物体和行星的运动产生类似的影响。
牛顿和莱布尼茨分别从不同的角度发明了微积分。 牛顿是从物理学的角度发明微积分的。 从数学的角度来看,莱布尼茨用合理的数学符号来表达它们,这些符号更加直观易懂,这些符号一直沿用至今。 >>>More
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